Как выбрать направление обхода контура

При свертке параллельных ветвей эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из сворачиваемых.

Если параллельно соединены n одинаковых сопротивлений (Рис. 3.3), эквивалентное сопротивление в n раз меньше сопротивления любой из ветвей.

Если на участке цепи параллельно соединены лишь два элемента (Рис. 3.4), выражение (3.2) упрощается. В этом случае эквивалентное сопротивление можно определить как отношение произведения двух сопротивлений к их сумме:

4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

К основным законам электрических цепей относятся закон Ома и законы Кирхгофа.

Если в ветви не содержится ЭДС, к ней применим уже известный закон Ома для пассивного участка цепи (1.1). Его можно сформулировать и следующим образом. Ток в ветви, не содержащей ЭДС, равен падению напряжения в ветви, деленному на сопротивление ветви (Рис. 4.1):

Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС, позволяет найти ток этой ветви по известной разности потенциалов на концах ветви. Ток в ветви, содержащей ЭДС, равен дроби, знаменатель которой – это сопротивление ветви. В числителе дроби – напряжение на концах ветви плюс алгебраическая сумма ЭДС, заключенных между концами ветви. С плюсом берутся напряжения и ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, с минусом – противоположные.

В частности, ток в ветви, изображенной на Рис. 4.2, равен:

.

Первый закон Кирхгофа

В любом узле цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. При этом, токи, направленные к узлу, принято считать положительными, токи, направленные от узла, принято считать отрицательными (Рис. 4.3).

По первому закону Кирхгофа можно написать столько уравнений, сколько узлов содержит схема. Но не все они будут независимыми. Если схема содержит узлов, независимыми будут уравнений. Оставшееся уравнение будет являться следствием всех предыдущих.

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в контур.

При этом, положительными считаются те напряжения и ЭДС, которые совпадают с направлением обхода контура, отрицательными считаются напряжения и ЭДС, которые противоположны направлению обхода контура. Направление обхода контура можно выбирать произвольно.

Алгоритм составления уравнения по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура цепи

Для заданного контура (Рис. 4.4 а) уравнение по второму закону Кирхгофа составляется в следующем порядке:

1. Задается направление токов в ветвях (Рис. 4.4 б).

1. Выбирается направление обхода контура (Рис. 4.4 в).

1. Записывается уравнение, в левой части которого – сумма падений напряжений на сопротивлениях ветвей. В правой части – сумма ЭДС контура.

Примечание: Падение напряжения на сопротивлении ветви записывается в соответствии с известным уже законом Ома (1.1):

Применение второго закона Кирхгофа для незамкнутого участка цепи

Второй закон Кирхгофа справедлив только для замкнутого контура. При этом, любой незамкнутый участок цепи можно дополнить до замкнутого контура с помощью напряжения в разрыве незамкнутого участка.

Незамкнутый участок цепи abcd изображен на Рис. 4.5 а.

Дополняем участок до замкнутого контура, добавляя напряжение между незамкнутыми точками c и d (Рис. 4.5 б). Теперь для контура abcd можно записать второй закон Корхгофа:

Применение законов Кирхгофа при наличии в цепи источника тока

Источник тока имеет бесконечно большое сопротивление, поэтому не образует замкнутого контура и не может входить в уравнения второго закона Кирхгофа. Однако, в уравнениях первого закона Кирхгофа источник тока должен содержаться обязательно.

При необходимости записать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего источник тока, его заменяют напряжением на выводах источника тока.

Написать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a и уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd (Рис. 4.6 а).

Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a содержит источник тока и имеет вид:

Для того чтобы написать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd, заменяем источник тока напряжением на его выводах (Рис. 4.6 б), задаем направление обхода контура против часовой стрелки и получаем:

Для упрощения расчетов источник тока с параллельным сопротивлением можно заменить на эквивалентный источник ЭДС (Рис. 4.7). После расчета необходимо обязательно вернуться к исходной схеме.

Независимый контур цепи

В принципе, по второму закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько контуров содержит цепь. Но не все эти уравнения будут независимыми. Для определения независимости уравнений по второму закону Кирхгофа вводится такое понятие как независимый контур цепи.

Независимый контур цепи – это такой контур, который содержит хотя бы одну новую ветвь, не вошедшую в другие контуры цепи.

Независимые контуры в общем случае выбираются произвольно, но проще всего выбирать их так, чтобы они совпадали с ячейками цепи (Рис. 4.8 б).

Если схема содержит ветвей и узлов, число независимых контуров равно

.

Схема на Рис. 4.8 б содержит три независимых контура.

5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА ДЛЯ РАСЧЕТА ТОКОВ ЦЕПИ

Законы Кирхгофа можно использовать для расчета токов в ветвях цепи. Главное требование при этом – получение системы независимых уравнений, в которой число неизвестных равно количеству токов, подлежащих определению.

Алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа

• АлтГТУ 419
• АлтГУ 113
• АмПГУ 296
• АГТУ 266
• БИТТУ 794
• БГТУ «Военмех» 1191
• БГМУ 172
• БГТУ 602
• БГУ 153
• БГУИР 391
• БелГУТ 4908
• БГЭУ 962
• БНТУ 1070
• БТЭУ ПК 689
• БрГУ 179
• ВНТУ 119
• ВГУЭС 426
• ВлГУ 645
• ВМедА 611
• ВолгГТУ 235
• ВНУ им. Даля 166
• ВЗФЭИ 245
• ВятГСХА 101
• ВятГГУ 139
• ВятГУ 559
• ГГДСК 171
• ГомГМК 501
• ГГМУ 1967
• ГГТУ им. Сухого 4467
• ГГУ им. Скорины 1590
• ГМА им. Макарова 300
• ДГПУ 159
• ДальГАУ 279
• ДВГГУ 134
• ДВГМУ 409
• ДВГТУ 936
• ДВГУПС 305
• ДВФУ 949
• ДонГТУ 497
• ДИТМ МНТУ 109
• ИвГМА 488
• ИГХТУ 130
• ИжГТУ 143
• КемГППК 171
• КемГУ 507
• КГМТУ 269
• КировАТ 147
• КГКСЭП 407
• КГТА им. Дегтярева 174
• КнАГТУ 2909
• КрасГАУ 370
• КрасГМУ 630
• КГПУ им. Астафьева 133
• КГТУ (СФУ) 567
• КГТЭИ (СФУ) 112
• КПК №2 177
• КубГТУ 139
• КубГУ 107
• КузГПА 182
• КузГТУ 789
• МГТУ им. Носова 367
• МГЭУ им. Сахарова 232
• МГЭК 249
• МГПУ 165
• МАИ 144
• МАДИ 151
• МГИУ 1179
• МГОУ 121
• МГСУ 330
• МГУ 273
• МГУКИ 101
• МГУПИ 225
• МГУПС (МИИТ) 636
• МГУТУ 122
• МТУСИ 179
• ХАИ 656
• ТПУ 454
• НИУ МЭИ 641
• НМСУ «Горный» 1701
• ХПИ 1534
• НТУУ «КПИ» 212
• НУК им. Макарова 542
• НВ 777
• НГАВТ 362
• НГАУ 411
• НГАСУ 817
• НГМУ 665
• НГПУ 214
• НГТУ 4610
• НГУ 1992
• НГУЭУ 499
• НИИ 201
• ОмГТУ 301
• ОмГУПС 230
• СПбПК №4 115
• ПГУПС 2489
• ПГПУ им. Короленко 296
• ПНТУ им. Кондратюка 119
• РАНХиГС 186
• РОАТ МИИТ 608
• РТА 243
• РГГМУ 118
• РГПУ им. Герцена 124
• РГППУ 142
• РГСУ 162
• «МАТИ» — РГТУ 121
• РГУНиГ 260
• РЭУ им. Плеханова 122
• РГАТУ им. Соловьёва 219
• РязГМУ 125
• РГРТУ 666
• СамГТУ 130
• СПбГАСУ 318
• ИНЖЭКОН 328
• СПбГИПСР 136
• СПбГЛТУ им. Кирова 227
• СПбГМТУ 143
• СПбГПМУ 147
• СПбГПУ 1598
• СПбГТИ (ТУ) 292
• СПбГТУРП 235
• СПбГУ 582
• ГУАП 524
• СПбГУНиПТ 291
• СПбГУПТД 438
• СПбГУСЭ 226
• СПбГУТ 193
• СПГУТД 151
• СПбГУЭФ 145
• СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
• ПИМаш 247
• НИУ ИТМО 531
• СГТУ им. Гагарина 114
• СахГУ 278
• СЗТУ 484
• СибАГС 249
• СибГАУ 462
• СибГИУ 1655
• СибГТУ 946
• СГУПС 1513
• СибГУТИ 2083
• СибУПК 377
• СФУ 2423
• СНАУ 567
• СумГУ 768
• ТРТУ 149
• ТОГУ 551
• ТГЭУ 325
• ТГУ (Томск) 276
• ТГПУ 181
• ТулГУ 553
• УкрГАЖТ 234
• УлГТУ 536
• УИПКПРО 123
• УрГПУ 195
• УГТУ-УПИ 758
• УГНТУ 570
• УГТУ 134
• ХГАЭП 138
• ХГАФК 110
• ХНАГХ 407
• ХНУВД 512
• ХНУ им. Каразина 305
• ХНУРЭ 324
• ХНЭУ 495
• ЦПУ 157
• ЧитГУ 220
• ЮУрГУ 306

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.
Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

Рис. 5. Потенциальная диаграмма

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I₁ — ток, втекающий в узел , а токи I₂ и I₃ — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I₂ и I ₃ в левую часть выражения (1), тем самым получим:

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E₁=12 в и E₂=5 в , с внутренним сопротивлением источников r₁=r₂=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

так как I₁ и I ₂ втекают в узел А , а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

Для внутреннего левого контура:

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

12 = 0,1I₁ +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I₂

12 = 0,1I₁ + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

12 = 0,1I₁ + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I₁– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I₁ + 4I₁ – 140.

12 + 140= 4,1I₁

Теперь в выражение I = 2I₁– 70 подставим значение

I₁=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I₂=I — I₁

I₂=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I₂ означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I ₂ вытекает из узла А .

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!