Точка пересечения прямой и плоскости
Рассмотрим пошаговую инструкцию построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.Отметим, что построение точки пересечения прямой и плоскости — это одна из основ решения задач по предмету начертательная геометрия, не освоив которую дальнейшее понимание предмета будет достаточно трудным.
Порядок построения точки пересечения прямой и плоскости
1. Заключим прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость (плоскость перпендикулярную фронтальной плоскости проекции). На фронтальной проекции она сольется с прямой а. Очевидно, что линия m пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС на фронтальной проекции так же будет сливаться с прямой а (а=m).
2. Определим фронтальные проекции двух точек этой линии m: точки 1 и 2.
3. Найдем их горизонтальные проекции.
4. Соединим горизонтальные проекции точек 1 и 2 — получим горизонтальную проекцию прямой m (которая является линией пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью треугольника АВС, и соответственно принадлежит обеим плоскостям). Так как прямая а принадлежит вспомогательной плоскости, и прямая m принадлежит ей же, то точка пересечения этих прямых К и есть точка пересечения прямой а с плоскостью треугольника АВС.
5. С помощью линии связи найдем фронтальную проекцию точки пересечения К.
6. Осталось только определить видимость прямой а. Это можно сделать с помощью метода конкурирующих точек.
Обратите внимание, что мы начали поиск точки пересечения прямой с плоскостью с того, что заключили прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость. Точно таким же образом можно было заключить прямую а в горизонтально-проецирующую плоскость, и тогда бы построения начались как бы "снизу вверх", но смысл остался бы точно таким же, как и конечное решение — точка пересечения прямой с плоскостью.
Внимание! Для этой темы есть видеоурок.
Вы можете сказать "спасибо!" автору статьи:
пройдите по любой из рекламных ссылок в левой колонке, этим вы поддержите проект "White Bird. Чертежи Студентам"
или запишите наш телефон и расскажите о нас своим друзьям — кто-то наверняка ищет способ выполнить чертежи
или создайте у себя на страничке или в блоге заметку про наши уроки — и кто-то еще сможет освоить черчение.
А вот это — не реклама. Это напоминание, что каждый из нас может сделать. Если хотите — это просьба. Мы действительно им нужны: 
Автор комментария: Дмитрий
Дата: 2012-08-16
Очень легко и понятно вы описали как найти точку пересечения прямой и плоскости, мегареспект!
Автор комментария: Алексндр
Дата: 2012-11-02
Да, теперь осилил
Автор комментария: Студент
Дата: 2012-11-14
Сделайте нормальные чертежи. Без анимации пошаговые.
Оставляйте адрес, может вам и будет подарок. Новый год ведь скоро 🙂
Автор комментария: Михаил
Дата: 2013-01-31
А вот нечего торопиться. Надо покушать как следует, сесть и всмотреться в гифку. Тогда и познаешь дзен. 🙂
Не торопиться, быть сытым и выспавшимся — да, это отличное подспорье. Спасибо за то, что указали на столь важные моменты. Да прибудет с вами сила, Михаил!
Автор комментария: Настя
Дата: 2013-03-08
Помогите пожалуста. у меня плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекции и задана следами, а прямая горизонтальна горизонтальной плоскости проекций
Автор комментария: Евгений
Дата: 2014-12-21
Это простооо кул,все понятно,мегареспект вам!!
Автор комментария: Георгий
Дата: 2014-12-28
4. Соединим горизонтальные проекции точек 1 и 2 — получим горизонтальную проекцию прямой m (которая является точкой пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью треугольника АВС. Тут надо исправить: прямая не может являться точкой. Также отсутствует закрывающая скобка.
Автор комментария: Дмитрий
Дата: 2015-05-01
Я всё равно ничего не понял. Хоть на первый взгляд это более толковое объяснение решения, чем пишут в книгах — там ваще мрак.
Автор комментария: Лиля
Дата: 2015-09-22
Высший класс! Ключевое предложение для понимания сути: "Заключим прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . "
Эмм. Это сарказм? 🙂 Если да, то в свое оправдание могу сказать лишь то, что терминология должна быть вам в некоторой мере знакома. С меня лишь графический порядок решения. Но с другой стороны давать его в абсолютном отрыве от теории тоже нехорошо. Указанная в вашем комментарии фраза пригодится вам на экзамене, или как минимум на защите данной работы. Но для графического решения прямо сейчас она не так важна. Просто выполняйте по шагам.
Автор комментария: Лия
Дата: 2015-10-22
Автор комментария: Василий
Дата: 2016-10-13
Спасибо огромное.Всё доходчиво и ясно!
Автор комментария: Олег
Дата: 2016-11-17
Как быть если прямая на П2 перпендикулярна Ох, а на П1 в точку проэцируется?
Добавьте свой комментарий:
zakaz@triv >Наша страница в ВК:
работаю преподавателем инженерной графике в техникуме.очень понравился раздел по практике применения. Хотелось бы узнать приемы преподавания начертательной геометрии в соответствие с новыми образовательными стандартами
Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.
Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)
Рис.70
1. Для построения точки пересечения прямой lс плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β 
π2, l» 
fоβ, fоβ – собирающий след, hоβ х (рис.71).
Рис.71
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М’=hоα∩ hоβ, N»= fоβ∩ fоα (рис.72).
Рис.72
3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К’=М’N’∩l ‘, К» – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К’ и l ».
4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.
Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).
При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а.
Рис.73
Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).
Рис.74
Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π1.l‘ hоβ, hоβ – собирающий след, fоβ х (рис.75).
Рис.75
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М’=А’С’∩ hоβ М» А»С» и N’=В’С’∩ hоβ N» »ѻ (рис. 76).
3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К»= М»N»∩l». К’ находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К» и М’N’.
4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.
Определяем видимость относительно плоскости π2 .Отметим фронтальную проекцию 1» совпадающую с 2». Горизонтальную проекцию 2′ отметим на А’С’, а 1′ на l’. Горизонтальная проекция 1′ лежит перед 2′, следовательно, фронтальная проекция 2» не видима относительно π2. Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π2, следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2» до К» видима, в точке К» видимость меняется на противоположную.
Определим видимость прямой l относительно плоскости π1. Отметим горизонтальную проекцию 3′, совпадающую с горизонтальной проекцией М’. М» А»С» уже отмечена, 3» l’‘. Фронтальная проекция М» лежит выше фронтальной проекции 3», следовательно, точка М видима относительно π1. Точка 3 лежит на l, следовательно, от М’≡3′ до К’, горизонтальная проекция l’ невидима. В горизонтальной проекции К’ видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.
Рис.76
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9466 — 
| 7449 — 
или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой ("канонический" или "параметрический" ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения
- Содержание
- 1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
- 3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.
1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L1:
 , | (1) |
| α: Ax+By+Cz+D=0. | (2) |
Найти точку пересечения прямой L1 и плоскости α (Рис.1).
 |
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
 , | (3) |
 | (4) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
| p1(x−x1)=m1(y−y1) |
| l1(y−y1)=p1(z−z1) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
| p1x−m1y=p1x1−m1y1, | (5) |
| l1y−p1z=l1y1−p1z1. | (6) |
Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:
 | (7) |
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L1 и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L1 лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L1 и плоскости α.
Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же
2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L1 в параметрическом виде:
 | (8) |
| α: Ax+By+Cz+D=0. | (9) |
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и плоскости α можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямой L1 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
 | (10) |
Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:
 | (11) |
Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):
  | (13) |
Откроем скобки и найдем t:
 | (14) |
Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L1 лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.
Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L1 и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).
3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.
Пример 1. Найти точку пересечения прямой L1:
 | (15) |
| α: 7x−5y+2z+19=0. | (16) |
Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:
 | (17) |
 | (18) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
| 3x−y=11, | (19) |
| 2y−3z=−22. | (20) |
Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):
 | (21) |
Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:
 |
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:
 |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
 |
 |
Ответ. Точка пересечения прямой L1 и плоскости α имеет следующие координаты:
| M (37/2, 89/2, 37). |
Пример 2. Найти точку пересечения прямой L1:
 | (22) |
| α: 6x+2y+z+7=0. | (23) |
Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:
 | (24) |
 | (25) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
| −5x−y=8, | (26) |
| 4y+5z=23. | (27) |
Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):
 | (28) |
Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:
 |
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
 | (29) |
Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L1 и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.
Ответ. Прямая L1 и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.
Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L1:
 | (30) |
| α: 2x+y−z+11=0. | (31) |
Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):
| 2(1+2t)+(−5−5t)−(8−t)+11=0. |
| 2+4t−5−5t−8+t+11=0. | (32) |
Упростив уравнение, получим:
| 0t=0. | (33) |
Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L1 удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L1 лежит на плоскости α.
Ответ. Прямая L1 лежит на плоскости α.
