No Image

Как построить оси координат x y z

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
16 декабря 2019

§ 13. Построение аксонометрических проекций

Построение аксонометрических проекций начинают с проведения аксонометрических осей.

Положение осей. Оси фронтальной ди-метрической проекции располагают, как показано на рис. 85, а: ось х – горизонтально, ось z – вертикально, ось у – под углом 45° к горизонтальной линии.

Угол 45° можно построить при помощи чертежного угольника с углами 45, 45 и 90°, как показано на рис. 85, б.

Положение осей изометрической проекции показано на рис. 85, г. Оси х и у располагают под углом 30° к горизонтальной линии (угол 120° между осями). Построение осей удобно проводить при помощи угольника с углами 30, 60 и 90° (рис. 85, д).

Чтобы построить оси изометрической проекции с помощью циркуля, надо провести ось z, описать из точки О дугу произвольного радиуса; не меняя раствора циркуля, из точки пересечения дуги и оси z сделать засечки на дуге, соединить полученные точки с точкой О.

При построении фронтальной диметрической проекции по осям х и z (и параллельно им) откладывают действительные размеры; по оси у (и параллельно ей) размеры сокращают в 2 раза, отсюда и название "диметрия", что по-гречески означает "двойное измерение".

При построении изометрической проекции по осям х, у, z и параллельно им откладывают действительные размеры предмета, отсюда и название "изометрия", что по-гречески означает "равные измерения".

На рис. 85, в и е показано построение аксонометрических осей на бумаге, разлинованной в клетку. В этом случае, чтобы получить угол 45°, проводят диагонали в квадратных клетках (рис. 85, в). Наклон оси в 30° (рис. 85, г) получается при соотношении длин отрезков 3 : 5 (3 и 5 клеток).


Рис. 85. Способы построения осей аксонометрических проекций

Построение фронтальной диметрической и изометрической проекций. Построить фронтальную диметрическую и изометрическую проекции детали, три вида которой приведены на рис. 86.


Рис. 86. Комплексный чертеж детали

Порядок построения проекций следующий (рис. 87):

1. Проводят оси. Строят переднюю грань детали, откладывая действительные величины высоты – вдоль оси z, длины – вдоль оси х (рис. 87, а).

2. Из вершин полученной фигуры параллельно оси v проводят ребра, уходящие вдаль. Вдоль них откладывают толщину детали: для фронтальной ди-метрической проекции – сокращенную в 2 раза; для изометрии – действительную (рис. 87, б).

3. Через полученные точки проводят прямые, параллельные ребрам передней грани (рис. 87, в).

4. Удаляют лишние линии, обводят видимый контур и наносят размеры (рис. 87, г).

Сравните левую и правую колонки на рис. 87. Что общего и в чем различие данных на них построений?


Рис. 87. Способ построения аксонометрических проекций

Из сопоставления этих рисунков и приведенного к ним текста можно сделать вывод о том, что порядок построения фронтальной диметрической и изометрической проекций в общем одинаков. Разница заключается в расположении осей и длине отрезков, откладываемых вдоль оси у.

В ряде случаев построение аксонометрических проекций удобнее начинать с построения фигуры основания. Поэтому рассмотрим, как изображают в аксонометрии плоские геометрические фигуры, расположенные горизонтально.

Построение аксонометрической проекции квадрата показано на рис. 88, а и б.

Вдоль оси х откладывают сторону квадрата а, вдоль оси у – половину стороны а/2 для фронтальной диметрической проекции и сторону а для изометрической проекции. Концы отрезков соединяют прямыми.


Рис. 88. Аксонометрические проекции квадрата: а – фронтальная диметрическая; б – изометрическая

Построение аксонометрической проекции треугольника показано на рис. 89, а и б.

Симметрично точке О (началу осей координат) по оси х откладывают половину стороны треугольника а/2, а по оси у – его высоту h (для фронтальной диметрической проекции половину высоты h/2). Полученные точки соединяют отрезками прямых.


Рис. 89. Аксонометрические проекции треугольника: а – фронтальная диметрическая; б – изометрическая

Построение аксонометрической проекции правильного шестиугольника показано на рис. 90.

По оси х вправо и влево от точки О откладывают отрезки, равные стороне шестиугольника. По оси у симметрично точке О откладывают отрезки s/2, равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (для фронтальной диметрической проекции эти отрезки уменьшают вдвое). От точек m и n, полученных на оси у, проводят вправо и влево параллельно оси х отрезки, равные половине стороны шестиугольника. Полученные точки соединяют отрезками прямых.


Рис. 90. Аксонометрические проекции правильного шестиугольника: а – фронтальная диметрическая; б – изометрическая

Ответьте на вопросы

1. Как располагают оси фронтальной диметрической и изометрической проекций? Как их строят?

2. Какие размеры откладывают вдоль осей фронтальной диметрической и изометрической проекций и параллельно им?

3. Вдоль какой аксонометрической оси откладывают размер уходящих вдоль ребер предмета?

4. Назовите общие для фронтальной диметрической и изометрической проекций этапы построения.

Задания к § 13

Упражнение 40

Постройте аксонометрические проекции деталей, приведенных на рис. 91, а, б, в – фронтальные диметрические, для деталей на рис. 91, г, д, е – изометрические.

Читайте также:  Как подключиться к wifi через компьютер

Размеры определите по числу клеток, считая, что сторона клетки равна 5 мм.

В ответах дано по одному примеру последовательности выполнения заданий.


Рис. 91. За типе на построение аксонометрических проекций

Упражнение 41

Постройте в изометрической проекции правильные четырехугольную, треугольную и шестиугольную призмы. Основания призм расположены горизонтально, длина сторон основания 30 мм, высота 70 мм.

В ответах дан пример последовательности выполнения задания.

1. В прямоугольной изометрической проекции, или, сокращенно, изометрии, аксонометрические оси расположены под углом 120 о друг к другу (рис. 3.41) и коэффициенты искажения по осям х’, у’ и z’ равны между собой. Линии изображаемого предмета, расположенные параллельно осям, проецируются с искажениями истинной величины в 0,82 раза.

В практике пренебрегают этим показателем искажения и для простоты построения предметов в изометрической проекции вместо 0,82 истинной длины откладывают по осям единицу. Получающееся при этом изображение увеличено по отношению к истинному в 1:0,82 = 1,22 раза. На наглядность изображения такое увеличение не отражается.

Оси изометрической проекции можно построить с помощью циркуля (рис. 3.41, а). Для этого сначала проводят ось z’. Затем из точки 0′ произвольным радиусом В описывают дугу, пересекающую ось z’ в точке 1. Из этой точки тем же радиусом делают засечки на дуге в точках 2 и 3. Ось х’ проводят через точки 3 и 0′, а ось у’ — через точки 2 и 0′. Построение осей при помощи рейсшины и прямоугольного треугольника с углами 30 о и 60 о показано на рис. 3.41, б.

Построение аксонометрических осей прямоугольной изометрической проекции

2. В прямоугольной диметрической проекции, или сокращенно диметрии, ось z’ располагают вертикально, ось х’ наклонена под углом 7 o 10′, а ось у’— под углом 41 o 25′ к линии горизонта. Показатели искажения по осям х’ и z’ равны 0,94, а по оси у’ — 0,47 (рис. 3.42, а).

В практике применяют увеличенную диметрию с показателями по осям х и z или по направлениям, им параллельным, откладывают действительные размеры, то есть единицу, а по оси у размеры уменьшают в два раза (0,5).

Построение аксонометрических осей прямоугольной диметрической проекции

Наиболее простой способ построения осей диметрии (рис. 3.42, 6) заключается в том, что на горизонтальной прямой, проходящей через точку О, откладывают в обе стороны от точки 0′ восемь равных произвольных отрезков. Из конечных точек этих отрезков вниз по вертикали откладывают слева один такой же отрезок, а справа — семь. Полученные точки соединяют с точкой 0 и получают направления аксонометрических осей х и у.

3. В косоугольной фронтальной диметрической проекции, или, сокращено фронтальной диметрии, ось х’ — горизонтальная прямая; ось z’ перпендикулярна к оси х’, а ось у’ расположена под углом 45 о к горизонтальной оси (под углом 135 о к оси г’) (рис. 3.43, а). Коэффициент искажения по оси х и z равен единице, а по оси у’ — 0,5.

Обычно построение осей выполняют при помощи рейсшины и равнобедренного треугольника, как показано на рис. 3.43, б.

Построение аксонометрических осей фронтальной диметрической проекции

5. Построение аксонометрических проекций предметов призматической и пирамидальной формы.

Построение аксонометрических проекций начинают с изображения основания или характерной грани предмета, то есть плоских фигур, расположенных в одной из плоскостей: фронтальной, горизонтальной или профильной. Поэтому рассмотрим сначала изображение плоских фигур.

Пример 1. Построение аксонометрических проекций равностороннего треугольника (рис. 3.44 и рис. 3.45).

1) Треугольник расположен во фронтальной плоскости. По оси х’ откладывают по обе стороны от точки 0′, принадлежащей оси z’, отрезки b/2, равные в сумме d — стороне треугольника, а по оси z’ — его высоту h. Полученные точки соединяют отрезками прямых.

2) Треугольник расположен в горизонтальной плоскости. По оси х’ откладывают от точки 0′, принадлежащей оси z отрезки b/2, равные в сумме b— стороне треугольника, а по оси у’ — высоту h для изометрической (рис. 3.44) проекции и половину его высоты (h/2) — для фронтальной диметрической (рис. 3.45).

3) Треугольник расположен в профильной плоскости. По оси у откладывают половину стороны (b/2) для фронтальной диметрической проекции и сторону b для изометрической, а по оси z’ — его высоту h.

Изображение равнобедренного треугольника в прямоугольной изометрической проекции

Изображение равнобедренного треугольника во фронтальной диметрической проекции

Изображение правильного шестиугольника в изометрической проекции

Изображение правильного шестиугольника во фронтальной диметрической проекции

Пример 2. Построение аксонометрических проекций правильного шестиугольника (рис. 3.46 и рис. 3.47).

1) Шестиугольник расположен во фронтальной плоскости. По оси х’ симметрично точке 0′ откладывают радиусы описанной окружности (d/2), равные размеру стороны шестиугольника, а по оси z, также симметрично точке 0 — отрезки S/2, равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (их можно определить по формуле S = 0,866 В).

Читайте также:  Как настроить интернет соединение на windows 10

Через точки, полученные на оси z’, проводят прямые, параллельные оси х, и симметрично оси z’ откладывают на них отрезки, равные половине стороны шестиугольника (D/2). Полученные шесть точек соединяют отрезками прямых.

2) Шестиугольник расположен в горизонтальной плоскости. Построение выполняют, как было рассмотрено выше, с той лишь разницей, что расстояние S между противоположными сторонами (для фронтальной диметрической проекции S(2)) откладывают по оси у’.

3) Шестиугольник расположен в профильной плоскости. В этом случае размер В (для фронтальной диметрической проекции — D/2) откладывают по оси у, а размер S — по оси г. В этой проекции сокращаются в два раза также стороны шестиугольника, расположенные параллельно оси у (размер В/4).

Пример З. Построение аксонометрических проекций призм (рис. 3.48 и рис. 3.49).

Изображение правильной шестиугольной призмы в изометрической проекции

Изображение треугольной призмы во фронтальной диметрической проекции

Сначала строят проекции видимого основания, например, в плоскости у 0 z Через его вершины проводят прямые, параллельные оси х’, и отклады- вают на них высоту (длину) призмы (рис. 3.48, а и рис. 3.49, а).

Полученные точки соединяют отрезками прямых и обводят линии видимо- го и невидимого контура (рис. 3.48, б и рис. 3.49, б).

Пример 4. Построение аксонометрических проекций правильных пирамид (рис. 3.50 и рис. 3.51).

Сначала строят проекцию основания пирамиды и через точку 0′ — центр тяжести полученной на плоскости фигуры — проводят ось z’. От точки 0 по оси z’ откладывают высоту пирамиды (рис. 3.50, а и рис. 3.51, а).

Полученную точку (проекцию вершины пирамиды) соединяют с проекциями вершин основания. В заключение обводят линии видимого и невидимого контура (рис. 3.50, б и рис. 3.51, б).

Изображение правильной треугольной пирамиды в изометрической проекции

Изображение правильной шестиугольной пирамиды во фронтальной диметрической проекции

Плоскости проекций V, H, W принимаются за координатные плоскости, а оси проекций X, Y, Z за координатные оси как положительные, так и отрицательные (рис. 10).

Положение точки в пространстве задается тремя координатами – X, Y, Z. Проекции точки задаются двумя координатами: а(х, y), а′(х, z), а′′(y, z).

Зная направление для положительного и отрицательного значений координатных осей, принимая во внимание свойства проекций точки, можно построить проекции точки по координатам. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача. Построить проекции точки А(–10; 40; –30) (рис. 10).

Рис. 10. Построение проекций точки А по координатам

Для построения фронтальной проекции а′ точки А справа от точки О на оси Х откладываем значение Х = –10. Вниз от точки О по направлению оси Z откладываем значение Z = –30. Пересечением перпендикуляров из точек аX и аZ,восстановленных к соответствующим осям Х и Z, определяем точку а′.

Для построения горизонтальной проекции а точки А по направлению оси Y вниз от точки О откладываем значение y = – 40. Через точку аY проводим перпендикуляр до пересечения с линией связи а′аX. Отмечаем точку а – горизонтальную проекцию точки А. По расположению фронтальной и горизонтальной проекций точки А определяем, что точка А расположена в VΙΙΙ октанте.

Для построения профильной проекции а′′ точки А через ее фронтальную проекцию а′ проводим линию связи а′аZ и на ней, вправо от точки аZ, откладываем значение y = 40. Отмечаем точку а′′ – профильную проекцию точки А.

Задача. Построить проекции точек по координатам и указать октант, в котором находится каждая из них.

Исходные данные: А(10; –30; 40), В(70; 50; –10), С(20; 15; 0), D(60; 35; 40), Е(50; –10; –25).

Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 11):

1. Проводим оси координат Х, Y, Z. Указываем положительные и отрицательные их направления.

2. Построение точек выполняем в масштабе 1:1.

Точка А (10; –30; 40):

Фронтальную проекцию а′ точки А определяем по координатам Х, Z; по оси Х откладываем 10 мм, по оси Z – 40 мм.

Горизонтальную проекцию а точки А определяем по координатам Х,(–Y), расстояние 30 мм откладываем по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Z.

Профильную проекцию а′′ точки А определяем по координатам (–Y), Z. В этом случае расстояние 30 мм откладывается по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Х. Следовательно, точка А находится во ΙΙ октанте.

Точка В (70; 50; –10):

Строим фронтальную проекцию b′ (Х = 70; Y = –10) точки А. Расстояние 10 мм нужно отложить на отрицательном направлении оси Z. Уточните: фронтальная b′ и горизонтальная b проекции точки В будут расположены на линии связи ниже оси Х. Профильная проекция b′′ точки В располагается справа от оси Z и ниже оси Х. Анализируя знаки координат (+ + – ) и расположение проекций точки, делаем вывод – точка В находится в ΙV октанте.

Читайте также:  Как подключить музыкальную колонку к телевизору

Точка С (20; 15; 0):

При построении этой точки очевидно, что фронтальная проекция с′ точки С лежит на оси Х, а ее профильная проекция а′′ лежит на оси Y, совпадающей с отрицательным направлением оси Х. Удаление точки С от плоскости проекций Н равно нулю (y = 0), следовательно, точка С лежит в плоскости Н, на границе Ι и ΙV октантов.

Точка D (60; 35; 40):

Все значения координат положительные, следовательно, точка D находится в Ι октанте.

При отрицательных значениях Y и Z точка располагается в ΙΙΙ октанте. Проекции такой точки располагаются:

– фронтальная проекция е′ точки Е располагается ниже оси Х, слева от оси Y;

– горизонтальная проекция е точки Е располагается выше оси Х, слева от оси Z;

– профильная проекция е′′ точки Е располагается слева от оси Z, ниже оси Х.

Вывод. Положение точки в пространстве вполне определено, если известны три ее координаты или две любые ортогональные проекции. Как следствие из этого – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки можно всегда построить недостающую ее третью ортогональную проекцию.

Рис. 11. Построение точек по координатам с указанием октантов

Рассмотри построение точки по двум заданным ортогональным проекциям.

Задача. По двум заданным ортогональным проекциям построить недостающую проекцию точки В (рис. 12).

Рис. 12. Графическое условие задачи

Решение. Анализируем графическое условие задачи: заданы фронтальная и профильная проекции точки В. Это значит, заданы все три координаты точки В. Следовательно, необходимо построить ее горизонтальную проекцию.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Для построения горизонтальной проекции точки В необходимо знать ХВ и УВ. Эти координаты находим на чертеже.

2. Замеряем УВ = bZ b′′ и откладываем эту координату вдоль линии связи от оси ОХ от точки bХ.

3. Строим горизонтальную проекцию точки В (рис. 13).

Рис. 13. Построение недостающей проекции точки В

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

При ортогональном проецировании на плоскости проекций прямая линия проецируется в виде прямой. Чтобы построить проекции этой прямой линии, проходящей через заданные точки А и В, нужно построить проекции этих точек и провести прямые линии через их одноименные проекции (рис. 14). Получим:

аb – горизонтальную проекцию отрезка прямой;

а′b′ – фронтальную проекцию отрезка прямой.

Рис. 14. Проекции отрезка прямой, проходящего через две точки

Следы прямой

Прямая пересекает плоскости проекций в точках, которые называются следами прямой.

Точка пересечения прямой N с горизонтальной плоскостью проекций Н1) называется горизонтальным следом NH.

Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций V2) – фронтальным следом NV.

Точка пересечения прямой N с профильной плоскостью проекций W3) – профильным следом NW прямой.

Вывод:

· горизонтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в горизонтальной плоскости проекций H1);

· фронтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая во фронтальной плоскости проекций V2);

· профильный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в профильной плоскости проекций W3).

Задача. Построить точки пересечения прямой N с горизонтальной Н1) и фронтальной V2) плоскостями проекций (рис. 15аб).

Анализируя задачу, приходим к выводу, что необходимо построить горизонтальный и фронтальный следы прямой.

1. Построение фронтального следа NV.

Необходимо построить точку, принадлежащую прямой N и фронтальной плоскости проекций. Согласно изложенному ранее материалу, горизонтальная проекция искомой точки должна:

– лежать на оси Х;

– принадлежать горизонтальной проекции прямой N.

Порядок выполнения графической части задачи:

1.1. Отмечаем точку пересечения горизонтальной проекции n прямой N с осью Х, получаем точку nV – горизонтальную проекцию фронтального следа.

1.2. Через точку nV проводим линию связи перпендикулярно оси Х.

1.3. Находим точку пересечения линии связи с фронтальной проекцией n′ прямой N, получаем точку NV – фронтальную проекцию фронтального следа. Через эту точку прямая уходит во вторую четверть (рис. 15а) и в третью четверть (рис. 15б).

2. Построение горизонтального следа NH.

Необходимо построить точку, принадлежащую прямой N и горизонтальной плоскости проекций Н. Согласно изложенному ранее материалу, фронтальная проекция искомой точки должна:

– лежать на оси Х;

– принадлежать фронтальной проекции прямой N.

Порядок выполнения графической части задачи:

2.1. Отмечаем точку пересечения фронтальной проекции n′ прямой N с осью Х, получаем точку nH – фронтальную проекцию горизонтального следа.

2.2. Через точку nH проводим линию связи перпендикулярно оси Х.

2.3. Находим точку пересечения линии связи с горизонтальной проекцией n прямой N, получаем фронтальную проекцию фронтального следа. В этой точке прямая пересекает горизонтальную плоскость и уходит в четвертую четверть (рис. 15а,б).

а
б

Рис. 15. Построение следов прямой линии N:

а – прямая уходит во вторую четверть; б – прямая уходит в третью четверть

Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; Нарушение авторского права страницы

Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector