No Image

Как построить лачх по передаточной функции

СОДЕРЖАНИЕ
56 просмотров
16 декабря 2019

Методика построения лачх

1. Определяются сопрягающие частоты:

. (4.1)

Полученные значения откладываются на оси частот в логарифмическом масштабе (,, …,).

2. На начальном интервале частот наклон ЛАЧХ зависит от вида системы:

если система статическая, то в интервале частот откладывается горизонтальная прямая проходящая на расстоянии 20lgk дБ от логарифмической оси частот;

если система астатическая (полином в знаменателе передаточной функции W(p) имеет нулевые корни), то в интервале частот проводится прямая с отрицательным наклоном –20v дБ/дек, где v – степень астатизма системы (число нулевых корней знаменателя передаточной функции), через точку с координатами (lg1, 20lgk), т.е. (0, 20lgk);

если система с нулевыми нулями (полином в числителе передаточной функции W(p) имеет нулевые корни), то в интервале частот проводится прямая с положительным наклоном +20λ деб/дек, где λ – число нулевых корней числителя передаточной функции, через точку с координатами (, 0).

3. После каждой сопрягающей частоты , …, наклон ЛАЧХ L(ω) меняется в зависимости от того, какому звену принадлежит сопрягающая частота. В итоге получается асимптотическая ЛАЧХ в виде ломаной прямой.

4. При необходимости более точного построения точки ЛАЧХ в окрестностях точек излома корректируются значения L(ω) с использованием специальных таблиц поправок, приведённых в [1-5].

Примечание: ЛФЧХ строится так же, как и ЧХ, но при этом используется логарифмический масштаб частот.

Пример построения лачх статической сар

Дана передаточная функция статической системы:

, (4.2)

Построить асимптотическую ЛАЧХ для статической системы.

Для построения ЛАЧХ воспользуемся формой представления комплексного числа в соответствии с формулой Эйлера:

, (4.3)

где ; .

Найдём частотную передаточную функцию:

(4.4)

или с учётом (4.3)

. (4.5)

Тогда модуль частотной передаточной функции

. (4.6)

Отсюда имеем, что

. (4.7)

Определим сопрягающие частоты:

, ;

, ;

, .

Отложим значения частот на оси частот в логарифмическом масштабе, как показано на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – Пример ЛАЧХ статической САУ

Так как система статическая, то в интервале частот проводится горизонтальная прямая на расстоянии 20lgk дБ от логарифмической оси частот

дБ (4.8)

до пересечения с ординатой, проходящей через частоту ω2 (точка А).

Так как частота ω2 принадлежит звену с отрицательным наклоном, то из точки А проводится прямая с наклоном –20дБ/дек до пересечения с ординатой через частоту ω1 (точка В). Наклон –20дБ/дек получается при соединении точек с координатами (0, 20lgk) и (1,0) на рисунке 4.1 линия 1.

Частота ω1 принадлежит звену с положительным наклоном 20дБ/дек, поэтому в интервале частот от ω1 до ω3 получим горизонтальную прямую (отрезок ВС).

Частота ω3 принадлежит звену с отрицательным наклоном –20дБ/дек, поэтому L(ω) дальше пойдёт под наклоном 20дБ/дек из точки С.

Пример построения лачх астатической сар

Дана передаточная функция астатической системы:

, (4.9)

Построить ЛАЧХ для астатической системы первого порядка.

Примечание: Формально степень астатизма САР определяется степенью переменной р в знаменателе передаточной функции. Так как в примере р в первой степени, значит рассматриваемая САР имеет астатизм первого порядка.

Аналогично предыдущему примеру найдём и .

. (4.10)

. (4.11)

. (4.12)

Определим сопрягающие частоты:

, ;

, .

Отложим их на оси частот в логарифмическом масштабе, как показано на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 – Пример ЛАЧХ для астатической САР

На участке частот проводим прямую с наклоном –20дБ/дек через точку с координатами (0; 20lgk). Масштаб наклона – 20деб/дек показан линией 1, так как 20lgk=20lgω, а значит lgω= lgk= lg10=1.

На участке частот (ω1;ω2) проводится прямая с наклоном –40 деб/дек, так как звено с частотой имеет отрицательный наклон –20 деб/дек. Масштаб наклона – 40деб/дек показан линией 2.

Читайте также:  Как подключить частный дом к интернету

На участке частот (ω2;∞) L(ω) имеет наклон –20деб/дек, так как звено с частотой ω2 имеет положительный наклон +20деб/дек.

ЗАДАНИЕ

На курсовое проектирование по дисциплине

«Основы теории управления»

Студенту Макееву Александру Александровичу , группа 434

(фамилия, имя, отчество)

Направление подготовки 230100 – Информатика и вычислительная техника

Специальность 230104 – Системы автоматизированного проектирования

ТемаРазработка программы для синтеза САУ методом ЛАЧХ

Исходные данные к проекту:

Список используемых источников:

1 Теория автоматического управления : учеб. для вузов. В 2 ч. – Ч.1: Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов [ и др. ] ; под ред. А. А. Воронова. – М. : Высш. шк. , 1986. – 367 с.

2 Макарова, Л. Ф. Основы теории управления: конспект лекций / Л. Ф. Макарова. – СПб.: СПбГТИ(ТУ). – 2015.

3 Портал Python 2.7.4 Documentation [Электронный ресурс]: Электронные данные – Режим доступа: https://docs.python.org

4 Портал Welome to Kivy [Электронный ресурс]: Электронные данные – Режим доступа: http://kivy.org/docs

5 Портал Stack Overflow [Электронный ресурс]: Электронные данные – Режим доступа: http://stackoverflow.com

Требования к аппаратному программному обеспечению

Intel Core i5 3230-M 2.6 GHz, ОЗУ 6 Гб.

ОС Linux Ubuntu Mate 14.04; текстовой редактор – Sublime Text 3, средства оформления документации – Microsoft Office Word 2007.

Дата выдачи задания 17.09.2015

Дата представления курсового проекта к защите25.12.2015

Руководитель Л.Ф. Макарова

(подпись, дата) (инициалы, фамилия)

Зав. кафедрой Т.Б. Чистякова

(подпись, дата) (инициалы, фамилия)

Задание принял(а) к выполнению студент(ка)

Цель и задачи курсового проекта 4

1 Аналитическая часть 6

1.1 Построение ЛАЧХ_ 6

1.2 Построение желаемой ЛАЧХ_ 7

1.3 Построение ЛФЧХ_ 8

1.4 Анализ устойчивости_ 8

2 Практическая часть 10

2.1 Анализ передаточной функции заданного соединения звеньев_ 10

2.2 Построение ЛАЧХ_ 11

2.3 Построение ЛФЧХ_ 12

2.4 Блок-схема алгоритма_ 14

2.5 Основные дисплейные фрагменты_ 15

Список используемых источников 18

ПРИЛОЖЕНИЕ А_ 19

ПРИЛОЖЕНИЕ Б_ 20

ПРИЛОЖЕНИЕ В_ 25

Цель и задачи курсового проекта

Цель курсового проекта:

Для системы с заданной передаточной функцией разработать программу для построения асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) и логарифмической фазо-частотной характеристики (ЛФЧХ).

В процессе проектирования необходимо решить следующие задачи:

– провести анализ передаточных функций и логарифмических частотных характеристик типовых динамических звеньев;

– разработать алгоритм и программу построения ЛАЧХ и ЛФЧХ соединения типовых звеньев;

– разработать подпрограмму графического определения запасов устойчивости по модулю и фазе с помощью ЛАЧХ и ЛФЧХ;

– провести тестирование разработанной программы, состоящее в изменении параметров заданной передаточной функции с целью увеличения запасов устойчивости или улучшения качества функционирования системы в смысле повышения ее быстродействия.

Введение

В практической автоматике при расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (ЛЧХ). Применение логарифмического масштаба позволяет наглядно отображать частотные характеристики в большом диапазоне частот, представлять ЧХ отрезками ломаных линий и определять характеристики сложных систем простым суммированием или вычитанием ЛЧХ, входящих в эти системы элементов.

ЛЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы, по которым можно восстановить ее ПФ и определить параметры.

Главное достоинство ЛАЧХ – возможность построения их во многих случаях практически без вычислений. Это проявляется в тех случаях, когда представляется в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАЧХ находится суммированием ординат ЛАЧХ, соответствующих отдельным сомножителям.

Аналитическая часть

В теории автоматического управления широко используются логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ). Они получаются путем логарифмирования коэффициента передаточной функции (КПФ):

Читайте также:  Как подключить старый телевизор к ноутбуку

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое умножается на 20:

Величина откладывается по оси ординат в децибелах или белах (1 Б = 10 дБ).

Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощности двух сигналов отличаются в 10 раз, то это отличие соответствует 1 Б ( ). Два сигнала отличаются на 1 дБ, если , что соответствует .

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, которая измеряется в декадах.

Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде равен 1. Логарифмическая шкала не имеет нуля и не может пересекаться вертикальной осью в любом месте.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ЛАЧХ только масштабом по оси абсцисс. Величина откладывается по оси ординат в градусах или радианах (для элементарных звеньев она не выходит за пределы ). Таким образом, при построении ЛФЧХ логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс.

Построение ЛАЧХ

При построении ЛАЧХ по оси ординат наносится равномерный масштаб, желательно кратный 20 дБ. Начало координат помещают в точке = 1. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля . Точка лежит на оси частот слева в бесконечности, т.к. . В зависимости от интересующего диапазона частот ось ординат можно проводить и через другую точку так, чтобы можно было показать весь ход ЛАЧХ.

Для каждой из сопрягающих частот определяется наклон характеристики по сравнению с тем наклоном, который эта характеристика имела до сопрягающей частоты в соответствии с видом звена, представленных в таблице 1.

Таблица 1 – Наклоны ЛАЧХ типовых динамических звеньев

Вид звена Передаточная функция Наклон (дБ/дек)
Усилительное
Апериодическое -20
Колебательное -40
Инерционное II-го порядка -40
Дифференцирующее +20
Форсирующее I-го порядка +20
Форсирующее II-го порядка +40

Построение желаемой ЛАЧХ

Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой системы, имеющей желаемые или требуемые статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ состоит из 3-х основных асимптот:

-низкочастотной ( )

-среднечастотной ( )

-высокочастотной ( )

Низкочастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы определяет статические свойства САУ (точность) и ее наклон зависит от порядка астатизма системы : при наклон ЛАХ равен -20 дБ/дек, при наклон ЛАХ равен -40 дБ/дек. Если передаточная функция имеет передаточный коэффициента и порядок астатизма , удовлетворяющие требованиям, то низкочастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ является низкочастотная асимптота ЛАЧХ неизменяемой части системы. Если наклон низкочастотной асимптоты равен 0 или -20 дБ/дек, то наклон сопрягающей асимптоты выбирается равным -40 или -60 дБ/дек.

Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и ее сопряжение с низкочастотной определяет динамические свойства системы (устойчивость и показатели переходной характеристики). Построение начинают с выбора частоты среза , которая определяет зависимость перерегулирования и времени регулирования от максимума ВЧХ замкнутой системы, причем дано в виде функции . Среднечастотная асимптота проводится через точку с наклоном -20 дБ/дек влево и вправо от до получения определенных запасов устойчивости и допустимое перерегулирование. Протяженность устанавливается исходя из необходимого запаса устойчивости. Из этих соображений выбирают ее сопряжение с низкочастотной асимптотой. Кроме того, сопрягающую асимптоту следует выбрать так, чтобы характеристика возможно меньше отличалась от ) для того, чтобы при вычитании получалось в реализации наиболее простое КУ.

Высокочастотная асимптота мало влияет на свойства системы, поэтому ее следует выбирать так, чтобы корректирующее устройство (КУ) было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных асимптота характеристик и . Если совмещение не удается, то высокочастотная асимптота должна иметь тот же наклон, что и высокочастотная асимптота .

Построение ЛФЧХ

Читайте также:  Как выбрать хорошую варочную поверхность

Довольно часто ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах системы.

Для построения ЛФЧХ используется также ось частот (ось абсцисс). По оси ординат откладывается фаза в градусах (или радианах) в линейном масштабе. Положительный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а отрицательный – вниз.

Анализ устойчивости

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой системы. Применение метода ЛЧХ дает возможность увидеть влияние того или иного параметра системы на ее устойчивость и переходный процесс, а также позволяет сравнительно определить характеристику КУ, обеспечивающего требуемые показатели качества системы.

САУ, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если ордината ЛФЧХ на частоте среза системы по абсолютной величине меньше, чем , т.е. если .

Для того чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах, где ЛАЧХ разомкнутой системы положительная ( ), фазовый сдвиг не достигал или достигал его четное число раз.

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте среза , где ЛАЧХ разомкнутой системы обращается в 0 ( ), значение ФЧХ равно . Это соответствует состоянию разомкнутой системы, когда ее АФЧХ проходит через точку , т.е. когда модуль . Так как , то система будет находиться на граице устойчивости, если на частоте .

Запас устойчивости по модулю показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициента усиления системы без потери устойчивости. Определяется на частоте, где ФЧХ дотигает значения .

Запас устойчивости по фазе определяется на частоте , где и характеризует отклонение от , т.е. .

Эмпирическим путем установлено, что для нормальной работы многих систем управления необходимо обеспечивать следующие запасы устойчивости: , .

Для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию , была больше частоты среза.

Практическая часть

Рассмотрим пример системы с передаточной функцией (ПФ):

Обычно объект управления представляет собой последовательную цепочку типовых звеньев, поэтому L(со) можно получить, суммируя отдельные ЛЛЧХ, причем в этом случае удобнее строить асимптотические характеристики звеньев. Подобное суммирование позволяет предложить следующую процедуру построения L(co).

Пример 6.5. Построить асимптотическую ЛАЧХ объекта, передаточная функция которого имеет вид

где коэффициент усиления ku = 10, а постоянные времени Г, = 10 с, Т2 = 1 с. Решение

Используем предложенную процедуру для построения ЛАЧХ объекта. Предварительно определим характерные точки:

и отметим их па осях координат (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Асимптотическая ЛАЧХ объекта для примера 6.5

Построение ЛАЧХ начинается из области низких частот, которая расположена левее первой частоты сопряжения. Низкочастотная асимптота имеет наклон -20 дБ/дек., так как передаточная функция объекта содержит интегрирующее звено. Проводится она до частоты lgco, так, чтобы ее продолжение пересекало ось ординат в точке 20lg&.

Па частоте lgco, происходит излом характеристики на -20 дБ/дек., что соответствует апериодическому звену в составе W(p). До следующей частоты сопряжения (lgco2) наклон асимптоты будет равен -40 дБ/дек.

Излом характеристики на частоте lgco2 равен -20 дБ/дек., так как в составе W(p) есть апериодическое звено с постоянной времени Т2. Следовательно, наклон последней асимптоты ЛАЧХ объекта будет равен -60 дБ/дек.

Для построения ЛАЧХ объекта с произвольной передаточной функцией

следует, заменив в ней р на jсо, перейти к выражению для частотной характеристики

Амплитудная частотная характеристика определяется как

что позволяет определить 1(со) в виде

Таким образом, логарифмическая амплитудная частотная характеристика объекта находится как разность логарифмических характеристик его числителя и знаменателя.

Комментировать
56 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector