Как определить вероятность выпадения числа

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая.

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз — скажем, 1000 — и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока — чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек — правша.

b) Определите вероятность того, что человек — левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками — 1. Общее количество наблюдений — 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% — левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества. Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход. Множество всех возможных исходов называется пространством исходов. Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть <попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое>, которое может быть записано просто как <Ч, К, Б>.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.

Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов <1, 2, 3, 4, 5, 6>.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора — одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие — это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения — это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть ₅₂C₂. Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть ₁₃C₂. Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = ₁₃C₂/₅₂C₂ = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек ₁₀C₃. Один мужчина может быть выбран ₆C₁ способами, и 2 женщины могут быть выбраны ₄C₂ способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин ₆C₁.₄C₂. Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = ₆C₁.₄C₂/₁₀C₃ = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой — это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.

Содержание статьи

Как рассчитать теорию вероятности в лотерее
Самые крупные выигрыши в лотереи в истории
Как выиграть в лотерею при помощи маятника

Теория и термины

В мире постоянно проводится множество лотерей с самыми различными правилами, условиями победы, призами, однако существуют общие принципы расчета вероятности выигрыша, которые можно адаптировать под условия той или иной конкретной лотереи. Но для начала желательно определиться с терминологией.

Итак, вероятность – это вычисленная оценка возможности того, что произойдет определенное событие, которая чаще всего выражается в форме отношения числа желаемых событий к общему числу исходов. Например, вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монетки – один к двум.

Исходя из этого, очевидно, что вероятность выигрыша – это соотношение количества выигрышных комбинаций к числу всех возможных. Однако нельзя забывать, что критерии и определения понятия «выигрыш» тоже могут быть разными. К примеру, в большинстве лотерей используется такое определение как «класс выигрыша». Требования к выигрышу третьего класса ниже, чем к выигрышу первого, поэтому вероятность выигрыша первого класса самая низкая. Как правило, таким выигрышем является джек-пот.

Еще один значимый момент в расчетах заключается в том, что вероятность двух связанных событий вычисляется путем перемножения вероятностей каждого из них. Проще говоря, если вы подбросите монетку два раза, то вероятность выпадения «орла» каждый раз будет равна один к двум, но шанс, что «орел» выпадет оба раза, составит лишь один к четырем. В случае с тремя подбрасываниями шанс вообще упадет до одного к восьми.

Расчет шансов

Таким образом, для расчета шанса выигрыша джек-пота в абстрактной лотерее, где нужно верно угадать несколько выпавших значений из определенного числа шаров (например, 6 из 36), нужно рассчитать вероятность выпадения каждого из шести шаров и перемножить их между собой. Учтите, что с уменьшением числа шаров, оставшихся в барабане, вероятность выпадения нужного шара меняется. Если для первого шара вероятность того, что выпадет нужный, равна 6 к 36, то есть, 1 к 6, то для второго шанс составит 5 к 35 и так далее. В данном примере вероятность того, что билет окажется выигрышным составит 6x5x4x3x2x1 к 36x35x34x33x32x31, то есть 720 к 1402410240, что будет равно 1 к 1947792.

Несмотря на такие пугающие числа, люди регулярно выигрывают в лотереи по всему миру. Не забывайте, что даже если вы не возьмете главный приз, существуют еще выигрыши второго и третьего классов, вероятность получить которые намного выше. Кроме того, очевидно, что наилучшей стратегией является покупка нескольких билетов одного тиража, так как каждый дополнительный билет кратно увеличивает ваши шансы. Например, если купить не один билет, а два, то и вероятность победы будет в два раза больше: два из 1,95 миллиона, то есть примерно 1 к 950 тысячам.

Теория вероятностей (тервер) – раздел математики, который изучает случайные события и их свойства. Ознакомиться с ней нужно, чтобы понимать, как принимать взвешенные решения. Ведь зная статистические данные и анализируя закономерности, можно «предсказать» исход события.

Я не станут грузить вас сложными формулами – желающие углубленно заняться тервером могут сделать это по книге В. Е. Гмурмана «Теория вероятностей и математическая статистика». В статье покажу простые примеры для понимания зависимых и независимых событий, расскажу о состоянии неопределенности и интуитивном знании.

Материал полезен широкому кругу читателей.

Коротко о теории вероятностей

Вероятность в зависимых событиях

Вы решаете отправить в подарок другу балык. Знаете номер дома, подъезд, этаж. Курьер просит называть номер квартиры. С мучительными усилиями вспоминаете, что в доме по три двери на площадку, но дальше – туман. Давайте рассчитаем, сможет ли курьер попасть в нужную квартиру с первого раза.

Имеем три варианта развития событий:

Курьер звонит в первую (1) дверь.
Курьер звонит во вторую (2) дверь.
Курьер звонит в третью (3) дверь.

Но в истории участвует еще один человек: ваш друг. И событийность в его случае выглядит так:

Друг за первой (1) дверью.
Друг за второй (2) дверью.
Друг за третьей (3) дверью.

Прежде чем пойти дальше, введем определение вероятности – количество благоприятных исходов к вероятному числу событий.

Теперь соберем данные в таблицу (таблица 1). Всего — 9 исходов. Отметим положительные (курьеру откроет друг) – их 3. Получается, что вероятность с первого раза позвонить в дверь к нужному человеку – 3/9 или 1/3. Если вам нравится видеть вероятность в процентах, умножьте результат на 100%.

Таблица 1 – Девять исходов, три благоприятных

Представим, что курьер ошибся, и за дверью оказалась сногсшибательная блондинка в коротком халате. Для курьера исход положительный, для вас – нет. Поэтому считаем новую вероятность:

Курьер звонит в первую (1) квартиру.
Курьер звонит во вторую (2) квартиру.

То же самое с другом:

Друг ждет в первой (1) квартире.
Друг ждет во второй (2) квартире.

Теперь у нас 4 варианта и 2 – выигрышные (таблица 2). Вероятность со второго раза попасть в квартиру друга – 1/2. Она уменьшилась из-за зависимости событий: мы уже исключили неблагоприятный исход и расчёт нужно производить заново. Если курьер настолько невезуч, что промахнется во второй раз, вероятность попасть по адресу в третий раз – 100%. Опытным путем мы проверили, что за двумя предыдущими дверьми балык никто не ждет.

Таблица 2 Четыре исхода, два благоприятных

Пример с курьером — начальный уровень тервера. Он применим для бытовых нужд: предугадать вероятность побочного эффекта от антибиотиков, выбрать из разнообразия бабушкиных пирожков пирожок с повидлом и др.

На экзамене по теории вероятности советский математик и автор учебника Елена Вентцель спросила:

— Кому все понятно? Поднимите руки.

В аудитории живо взметнулся лес рук.

— Отлично! Остальные свободны, оценка – пять баллов! Поднявшие руки – останьтесь. За годы преподавания я так и не поняла большей части тервера. Рада, что вы мне все сейчас объясните.

Байка с математического факультета

Вероятность в независимых событиях

Независимые события не влияют друг на друга: количество благоприятных исходов в каждом новом событии не меняется.

Регина Тодоренко и Леся Никитюк в рамках программы «Орел и Решка» приехали в США. Обе хотят провести уик-энд «по богатому» и кидают монетку. Леся поставила на орла, Регина – на решку. Вероятность уехать на собственном авто у девушек одинакова: 1/2. На это раз повезло Лесе. Впрочем, как в следующей поездке тоже.

Регина негодует, почему тервер работает не в ее сторону

Теперь определим, могут ли независимые события происходить подряд с одним и тем же исходом. Лесе везло уже два раза и выпадал «орел». Повезет ли в третий раз? Составим список возможных исходов:

Орел, орел, орел.
Орел, орел, решка.
Орел, решка, орел.
Орел, решка, решка.
Решка, орел, орел.
Решка, орел, решка.
Решка, решка, орел.
Решка, решка, решка.

По результату видно: вероятность определенной последовательности каждый раз меньше на вероятность одного события. То есть вероятность определенной последовательности – произведение вероятностей каждого события. Если в одном событии вероятность 1/2, то в трех: 1/2*1/2*1/2=1/8.

Как человек принимает решения в состоянии неопределённости

Часть мозга, которая ответственна за оценку ситуации связана с медиаторной системой — центром мотивационных и эмоциональных процессов. Логика и эмоции часто конфликтуют между собой, поэтому решение принимается случайным образом.

У моей подруги аллергия на виноград. Но в студенчестве она не могла отказаться от бокала вина на вечеринке. Часто ее дерзость оставалась безнаказанной и организм нормально воспринимал аллерген. Реже протестовал: у подруги появлялись отеки на лице и в горле. В эти моменты ее левое полушарие отчаянно искало закономерность и просчитывало вероятность наступления аллергической реакции, правое же шептало: «Не пей, лицо распухнет!». Она могла вывести количество благоприятных исходов математическим путем и пить вино без опасений, но эмоции оказались сильней. Подруга раз и навсегда отказалась от любых продуктов с виноградом.

Хороший пример принятия решений описан в книге Млодинова «(Не) совершенная случайность». Допустим, вы отправили рассказ в четыре издательства. От каждого получили отказ. На эмоциях вы придете к мысли: рассказ ужасный! Хотя, если изучить биографии популярных писателей, может оказаться, что дело не в вас. Отказы в публикации получали Стивен Кинг, Джоан Роулинг, Виктор Франкл. Такие истории случались вовсе не из-за отсутствия у них дара: просто в одном издательстве редактор не понял тонкую философию автора, в другом – спешил домой и проставил визу не читая.

Почему интуитивное знание всегда противоречит статистике

Моя бабушка считает: в Албании убивают на каждом шагу. Хотя в стране она не была и новостей о не слышала: ей так кажется интуитивно. Наверняка и вы не раз испытывали подобное чувство. Оно называется интуитивное знание – внутреннее убеждение, что собственная оценка более правдива, чем официальные источники и статистика.

Всего 127 убийств на 100 000 человек

Классическое исследование на тему интуитивного знания провели Даниэль Канеман и Амос Тверский. Они дали задание группе студентов: на основании портрета, оценить утверждения с таблицы как более (1 балл) и менее (8 баллов) вероятные (таблица 3).

Портрет выглядел так: «Линда, возраст – немного за 30. Умная, говорит, что думает. В колледже изучала философию. Тогда же выступала против социального неравенства, дискриминации и использования ядерного оружия. Не замужем».

Таблица 3

По портрету логично предположить, что Линда участвует в феминистском движении. Но студенты принимали решения интуитивно, что привело к ошибке. Вероятность, что Линда работает в банке и принимает участие в феминистском движении больше вероятности работы в банке.

Посмотрите на таблицу: вероятность работы в банке и увлечение феминистским движением – 4,1 балл. Но первое (работа в банке) и второе (феминистское движение) в сумме дают 8,3 балла. Согласно терверу, вероятность, что произойдут оба события не может быть выше, чем вероятность каждого события по отдельности. Главное утверждение (4,1 балла) содержит 2 события и является единым. В интуитивном решения правило тервера нарушено. Это доказывает — наши убеждения часто являются ложными.

В дальнейшем проводились множественные эксперименты, которые подтвердили догадку Канемана.

Вместо заключения

Теория вероятностей почти всегда разбивается о «случай», продиктованный убеждением или эмоцией отдельного человека. Поэтому использование ее в повседневной жизни может не оправдать ожиданий. Но выбирать вам! Хорошего дня!