Как найти дискриминант матрицы

Страницы работы

Содержание работы

Методические указания для выполнения лабораторных работ по дисциплине

ст. преп. каф. Информатика

Лабораторная работа №5

Обработка матриц. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Цель работы: Получить практические навыки по возможностям обработки матриц в MCAD и решению систем уравнений с использованием матриц.

Задание к лабораторной работе.

1. Загрузить среду MCAD и набрать там пояснения

а) Включить русский шрифт. б) Установить тип шрифта Courier New Cyr. в) В появившемся окне набрать рекомендуемый текст.

a. Лабораторная работа №5 в среде MathCAD

b. Выполнил студент(ка) ФИО, группа, шифр

2. Скопировать задание из таблицы 6 и вставить в среду MathCAD

а) Нажать левую кнопку мыши и выделить вариант задания из таблицы 1. б) Скопировать задание в буфер обмена (Правка->копировать).в) Установить курсор( красный крестик) в нужное место и вставить из буфера (Правка->вставить).

3. Задать данную матрицу.

a) Набрать имя матрицы и установить с панели инструментов знак присваивания :=

b) Открыть панель векторов и матриц (значок есть на панели Математика)

c) Выбрать там шаблон матрицы

d) Указать нужное количество строк и столбцов

e) Заполнить шаблон значениями из своего варианта

4. Для получения матрицы B, умножим матрицу A на число, равное номеру вашего варианта + 1, так для 14 варианта матрицу A надо умножить на 15.

5. Для получения D умножим имеющиеся матрицы между собой.

6. Для нахождения дискриминантов матриц выбираем значок модуля на панели матриц, указываем имя и ставим знак равенства.

7. Для решения системы линейных уравнений необходимо задать матрицу коэффициентов (коэффициенты брать со знаком, если переменной нет в уравнении, значит коэффициент равен 0), вектор-столбец свободных членов

8. Решение будет найдено по формуле:

Таблица 6

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2×2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3×3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.

Определение

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = egin 1 & 4 & 2 \ 5 & 3 & 7 \ 6 & 2 & 1 end$

$det(A) = left|A
ight| = egin 1 & 4 & 2 \ 5 & 3 & 7 \ 6 & 2 & 1 end$

Свойства определителя

1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

Пример 12
$egin 1 & 4 & 2\ 0 & 0 & 0\ 3 & 9 & 5 end= 0$ или $egin 1 & 4 & 0\ 4 & 2 & 0\ 3 & 9 & 0 end=0$
Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.

Пример 13
$egin 1 & 4 & 2\ 1 & 4 & 2\ 3 & 9 & 5 end= 0$ или $egin 1 & 4 & 1\ 4 & 2 & 4\ 3 & 9 & 3 end=0$
Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.

Пример 14
$egin 1 & 4 & 2\ 2 & 8 & 4\ 3 & 9 & 5 end= 0$ (две первые строки пропорциональны)
или
$egin 8 & 4 & 7\ 4 & 2 & 3\ 18 & 9 & 8 end=0$ (два первых столбца пропорциональны)
Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.

Пример 15
$egin 1 & 4 & 2\ 7 & 2 & 3\ 8 & 6 & 5 end= 0$ $R_ <1>+R_ <2>=R_<3>$ или

$ egin 9 & 12 & 3\ 1 & 8 & 7\ 5 & 7 & 2 end=0$ $C_<1>+C_<3>=C_<2>$
При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.

Пример 17
$egin 1 & 5\ 3 & 8 end$ $xlongequal<1>+R_<2>> egin 4 & 13\ 3 & 8 end$
Пример 18
$egin 1 & 5\ 3 & 8 end$ $xlongequal<1>+C_<2>> egin 6 & 5\ 11 & 8 end$
При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент .

Пример 20
$egin 1 & 5\ 3 & 8 end$ $xlongequal<5C_<1>-C_<2>> egin 0 & 5\ 7 & 8 end$

Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Пример 21
$A=egin 1 & 4 & 2 \ 5 & 3 & 7 \ 6 & 2 & 1 end$

Один из миноров матрицы A есть $egin 1 & 2\ 5 & 3 end$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $egin 1 & 2 \ 6 & 1 end$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$B=egin 2 & 5 & 1 & 3\ 4 & 1 & 7 & 9\ 6 & 8 & 3 & 2\ 7 & 8 & 1 & 4 end $

Один из миноров матрицы B есть $ egin 1 & 7 & 9\ 8 & 3 & 2\ 8 & 1 & 4 end$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $egin 1 & 7 \ 8 & 3 end$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Пусть $A= egin a_ <1,1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_<1,n>\ a_ <2,1>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_<2,n>\ a_ <3,1>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_<3,n>\ . & . & . & . & .& .\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$

Можно определить минор $Delta_$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_<2,1>$.

Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

Минор, дополнительный к элементу 2, есть $Delta_ <2,1>= 7$.

Пример 24
$B=egin 1 & 4 & 2\ 5 & 3 & 7\ 6 & 2 & 1\ end$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_<2,3>$.

Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 7, — это $Delta_<2,3>= egin 1 & 4\ 6 & 2 end$

Пример 25
$C=egin 2 & 5 & 1 & 3\ 4 & 1 & 7 & 9\ 6 & 8 & 3 & 2\ 7 & 8 & 1 & 4 end$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 5. Так как данный элемент находится в строке 1, столбце 2, видно, что это $a_<1,2>$.

Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 5, — это $Delta_<1,2>= egin 4 & 7 & 9\ 6 & 3 & 2\ 7 & 1 & 4\ end$

Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Каждому элементу $a_$ матрицы A соответствует алгебраическое дополнение $(-1)^cdotDelta_$. Например, алгебраическое дополнение $(-1)^<2+5>cdotDelta_<2,5>=(-1)^<7>cdotDelta_<2,5>= -Delta_ <2,5>$ соответствует элементу $a_<2,5>$.

Порядок определителя

Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.

Пример 26
$egin 1 & 4\ 6 & 2\ end$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)

Пример 27
$egin 4 & 7 & 9\ 6 & 3 & 2\ 7 & 1 & 4\ end$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.

$left| A
ight| = egin a_ <1,1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_<1,n>\ a_ <2,1>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_<2,n>\ a_ <3,1>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_<3,n>\ . & . & . & . & .& .\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_\ end$

Можно посчитать определитель, например, используя строку i:

Либо же можно посчитать определитель, используя столбец j:

Вычисление определителя матрицы 2×2

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Заметим, что $ Delta_<1,1>= a_ <2,2>$ и $ Delta_<1,2>=a_<2,1>$

$ left| A
ight| =a_ <1.1>cdot a_<2,2>- a_ <1.2>cdot a_<2,1>$

$color < egina & b\ c & d end =a cdot d — b cdot c>$

Пример 28
$egin 2 & 5\ 3 & 8 end =2 cdot 8 — 3 cdot 5 = 16 -15 =1$

Пример 29
$egin -4 & 7\ -2 & 9 end =-4 cdot 9 — 7 cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = — 22$

Вычисление определителя матрицы 3×3

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Упростить получение последней формулы можно следующим образом.

Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.

Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$colorcdot a_<2,2>cdot a_<3,3>+ a_<2,1>cdot a_<3,2>cdot a_<1,3>+a_<3,1>cdot a_<1,2>cdot a_<2,3>>$

Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:

Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:

Пример 30
$A=egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1\ end$

Пример 31
$A=egin 3 & 5 & 1 \ 1 & 4 & 2\ 7 & 1 & 9\ end$

$= 3cdot4cdot9 + 1cdot1cdot1 + 7cdot5cdot2 -(1cdot4cdot7 + 2cdot1cdot3 + 9cdot5cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Элементы матрицы могут быть обозначены буквами. Вычисление их определителей можно упростить, используя свойства определителей. Например, можно вычислить определитель матрицы, в которой к какой-либо строке (или столбцу) прибавлена линейные комбинация других строк (столбцов).

$egin a & b & c\ c & a & b\ b & c & a end$ $ xlongequal<1>+C_<2>+C_<3>> egin a + b + c & b & c\ c + a + b & a & b\ b + c + a & c & a end = (a + b + c) cdot egin 1 & b & c\ 1 & a & b\ 1 & c & a end$

Вычисляем последней определитель:

$ = a^ <2>+ b^ <2>+ c^ <2>-acdot c — bcdot c — acdot b =$ $frac<1><2>cdot(2a^ <2>+2b^<2>+2c^ <2>-2acdot b -2acdot c-2bcdot c) =$ $frac<1><2>cdot(a^<2>-2acdot b + b^<2>+ a^<2>-2acdot c +c^<2>+b^<2>-2bcdot c + c^<2>)=$ $frac<1><2>cdot[(a-b)^<2>+(a-c)^<2>+(b-c)^<2>]$

В итоге получаем:

Пример 32
Вычислим определитель матрицы Вандермонде.
$egin 1 & 1 & 1\ a & b & c\ a^ <2>& b^ <2>& c^ <2>end$

Используя свойства определителей, модифицируем строку 1 так, чтобы два элемента обратились в 0. В этом случае, когда мы используем полученную выше формулу для определителя матрицы 3×3, нет необходимости вычислять алгебраические дополнения этих элементов, поскольку их произведение будет равно 0.

Вычисление определителя матрицы 4×4

Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.

Но сначала надо использовать свойства определителей:

1. Проверим, не выполняется ли одно из условий того, что определитель равен 0.
2. Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
3. Проверим, не является ли данная матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в которой некоторые строки или столбцы переставлены.

В любом из этих случаев нам пригодятся соответствующие методы вычисления определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. В этом случае, алгебраическое дополнение — это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.

Пример 33
$egin 1 & 3 & 9 & 2\ 5 & 8 & 4 & 3\ 0 & 0 & 0 & 0\ 2 & 3 & 1 & 8 end$

Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.

Пример 34
$egin 1 & 3 & 1 & 2\ 5 & 8 & 5 & 3\ 0 & 4 & 0 & 0\ 2 & 3 & 2 & 8 end$
Замечаем, что $C_<1>$ равно $C_<3>$, следовательно, определитель равен 0.

Пример 35
$egin 1 & 3 & 9 & 2\ 5 & 8 & 4 & 3\ 10 & 16 & 18 & 4\ 2 & 3 & 1 & 8 end$
Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.

Пример 36
$egin color <4>& 3 & 2 & 2\ 0 & 1 & -3 & 3\ 0 & -1 & 3 & 3\ 0 & 3 & 1 & 1 end$

Поскольку в столбце 1 только один элемент отличен от нуля, применяем общую формулу, используя этот столбец. Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равно будут равны нулю.

=
$=4(1cdot3cdot1 +(-1)cdot1cdot3+3cdot(-3)cdot3$ $-(3cdot3cdot3+3cdot1cdot1 +1cdot(-3)cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4cdot(-60)=-240$

Пример 37
$egin 4 & 3 & 2 & 2\ 0 & 1 & 0 & -2\ 1 & -1 & 3 & 3\ 2 & 3 & 1 & 1 end$

Чтобы изменить строку так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами, и наоборот. Выбираем строку или столбец, содержащий элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.

Заметим, что в строке 2 уже есть два нулевых элемента. Достаточно обратить лишь еще один элемент в 0, чтобы осталось посчитать только одно алгебраическое дополнение единичного элемента.

$egin 4 & 3 & 2 & 2\ 0 & 1 & 0 & -2\ 1 & -1 & 3 & 3\ 2 & 3 & 1 & 1 end xlongequal<4>+2C_<2>>$ $egin 4 & 3 & 2 & 8\ 0 & color <1>& 0 & 0\ 1 & -1 & 3 & 1\ 2 & 3 & 1 & 7 end=$ $=$br />

$= 1cdot(-1)^<2+2>cdot egin 4 & 2 & 8\ 1 & 3 & 1\ 2 & 1 & 7 end=$
$=4cdot3cdot7 + 1cdot1cdot8 + 2cdot2cdot1$ $-(8cdot3cdot2 + 1cdot1cdot4 + 7cdot2cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

Пример 38
$egin 1 & -2 & 3 & 2\ 2 & 3 & 1 & -1\ 3 & 3 & 3 & 3\ -1 & 4 & 2 & 1\ end$

Можно вынести множитель 3 из строки 3:
$3cdot egin 1 & -2 & 3 & 2\ 2 & 3 & 1 & -1\ 1 & 1 & 1 & 1\ -1 & 4 & 2 & 1\ end$

Поскольку в строке 3 все элементы равны 1, легко обратить получить нули.

$egin 1 & -2 & 3 & 2\ 2 & 3 & 1 & -1\ 1 & 1 & 1 & 1\ -1 & 4 & 2 & 1 end$ $ xlongequal <1>— C_<4>,C_<2>-C_<4>,C_<3>-C_<4>> egin -1 & -4 & 1 & 2\ 3 & 4 & 2 & -1\ 0 & 0 & 0 & color<1>\ -2 & 3 & 1 & 1 end$ $=1cdot(-1)^<3+4>cdot$ $=(-1)cdot egin -1 & -4 & 1\ 3 & 4 & 2 \ -2 & 3 & 1\ end$
$=-((-1)cdot 4cdot 1 +3 cdot 3cdot1 + (-2)cdot (-4)cdot 2$ $- (1cdot 4cdot (-2) + 2cdot 3cdot (-1) + 1cdot (-4)cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$

Пример 39
$egin 2 & 5 & 1 & 4\ 4 & 1 & 6 & 3\ 5 & 3 & 7 & 2\ 1 & 0 & 2 & 4 end$

Здесь мы можем использовать единицу из последней строки и обратить остальные элементы первого столбца в нули.

$egin 2 & 5 & 1 & 4\ 4 & 1 & 6 & 3\ 5 & 3 & 7 & 2\ 1 & 0 & 2 & 4 end$ $xlongequal<1>-2R_<4>,R_<2>-4R_<4>, R_<3>-5R_<4>> egin 0 & 5 & -3 & -4\ 0 & 1 & -2 & -13\ 0 & 3 & -3 & -18\ color <1>& 0 & 2 & 4 end=$ $=1cdot(-1)^<4+1>cdot egin 5 & -3 & -4\ 1 & -2 & -13\ 3 & -3 & -18 end=$ $(-1)cdot egin 5 & -3 & -4\ 1 & -2 & -13\ 3 & -3 & -18 end$

Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
$ (-1)cdot(-1)cdot(-1)cdot egin 5 & 3 & 4\ 1 & 2 & 13\ 3 & 3 & 18 end=$ $(-1)cdot egin 5 & 3 & 4\ 1 & 2 & 13\ 3 & 3 & 18 end=$ $-[5cdot 2cdot 18 + 1cdot 3cdot 4+ 3cdot 3cdot 13 — (4cdot 2cdot 3cdot + 13cdot 3cdot 5 + 18cdot 3cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

Пример 40
$egin 4 & 7 & 2 & 3\ 1 & 3 & 1 & 2\ 2 & 5 & 3 & 4\ 1 & 4 & 2 & 3 end$

Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.

$egin 4 & 7 & 2 & 3\ 1 & 3 & 1 & 2\ 2 & 5 & 3 & 4\ 1 & 4 & 2 & 3 end$ $xlongequal<1>-C_<3>, C_<2>-3C_<3>,C_<4>-2C_<3>> egin 2 & 1 & 2 & -1\ 0 & 0 & color <1>& 0 \ -1 & -4 & 3 & -2\ -1 & -2 & 2 & -1 end=$ $=1cdot(-1)^<2+5>cdot egin 2 & 1 & -1\ -1 & -4 & -2\ -1 & -2 & -1 end$

Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
$ (-1)cdot(-1)cdot(-1)cdot egin 2 & 1 & -1\ 1 & 4 & 2\ 1 & 2 & 1 end=$ $(-1)cdot egin 2 & 1 & -1\ 1 & 4 & 2\ 1 & 2 & 1 end=$ $-[2cdot 4cdot 1 + 1cdot 2cdot (-1)+ 1cdot 1cdot 2 — ((-1)cdot 4cdot 1 + 2cdot 2cdot 2 + 1cdot 1cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

Пример 41
$egin 2 & 1 & 3 & 4\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3\ end$

Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке. В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.

$egin 2 & 1 & 3 & 4\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3 end$ $xlongequal<1>+L_<2>+L_<3>+L_<4>> egin 10 & 10 & 10 & 10\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3 end =$ $10cdot egin 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3 end$ $xlongequal <1>— C_<4>,C_<2>-C_<4>,C_<3>-C_<4>>10cdot egin 0 & 0 & 0 & color<1>\ -1 & 1 & 2 & 2\ 2 & 3 & 1 & 1\ 1 & -1 & -2 & 3 end=$

$=10cdot1cdot(-1)^<1+4>$

$ = (-10)cdot egin -1 & 1 & 2\ 2 & 3 & 1\ 1 & -1 & -2 end=$ $(-10)cdot((-1)cdot 3cdot (-2) +2 cdot (-1)cdot2 + 1cdot 1cdot 1$ $-(2cdot 3cdot 1 + 1cdot (-1)cdot (-1) + (-2)cdot1cdot2))$ $= -10cdot(6 -4 +1 -6 — 1 + 4) =0$