Характеристи́ческая ско́рость орбита́льного манёвра в астродинамике и ракетодинамике — изменение скорости космического аппарата, которое необходимо для выполнения орбитального манёвра (изменения траектории). Является скаляром и имеет размерность скорости. Обозначается в формулах как Δ v (дельта-v; произносится как де́льта-вэ́). В случае реактивного двигателя изменение скорости достигается путём выброса рабочего тела для производства реактивной тяги, которая и ускоряет корабль в космосе.
Сумма́рная характеристи́ческая ско́рость — сумма характеристических скоростей всех манёвров, необходимых для поддержания работоспособности космического аппарата или системы (орбитальной группировки) на протяжении всего периода эксплуатации [1] .
Содержание
Определение [ править | править код ]
T — мгновенная тяга двигателя, m — мгновенная масса корабля.
Особые случаи [ править | править код ]
При отсутствии внешних сил (вакуум, гравитация небесных тел пренебрежимо мала, электромагнитные поля слабы):
Δ v = ∫ t 0 t 1 | a | d t <displaystyle Delta
ight|>,dt> 
где a — ускорение. Когда тяга приложена в постоянном направлении (без рысканья и тангажа), уравнение упрощается до
Δ v = | v 1 − v 0 | <displaystyle Delta
ight|> ,
то есть просто до изменения скорости (относительно точки отчета в инерционной системе).
Орбитальные манёвры [ править | править код ]
Орбитальные манёвры, как правило, выполняются выбросом из ракетного двигателя рабочего тела (газов) для создания противосилы, действующей на корабль. Значение этой силы равно
F = V e x h ρ <displaystyle F=V_
ho >
Vexh (от англ. exhaust ) — скорость истечения газа (рабочего тела). ρ — расход рабочего тела.
Ускорение (производная от скорости) v ˙ <displaystyle <dot корабля, вызванное этой силой, равно
v ˙ = f m = V e x h ρ m <displaystyle <dot
ho >
где m — масса корабля.
Меняя переменную уравнения с времени t на массу корабля m , получаем:
Δ v = − ∫ m 0 m 1 V e x h d m m <displaystyle Delta
Считая скорость истечения газа Vexh постоянной и независящей от остатков топлива, времени работы двигателя, это уравнение интегрируется в форму
Δ v = V e x h ln ( m 0 m 1 ) <displaystyle Delta
ight)> ,
Если, к примеру, 25 % начальной массы корабля — это топливо со скоростью истечения газов V e x h <displaystyle V_в районе 2100 м/с (обычное значение для гидразина), то достижимое для корабля полное изменение скорости равно:
Δ v = 2100 ln ( 1 0 , 75 ) <displaystyle Delta
ight)> м/с = 604 м/с .
Все приведённые формулы хорошо сходятся с реальностью для импульсных манёвров, характерных для химических реактивных двигателей (то есть с реакцией окисления горючего). Но для двигателей с малой тягой (например, ионных двигателей), а также двигателей, использующих электрические поля, солнечный ветер и т. п., эти упрощенные расчеты менее аккуратны, особенно если периоды работы двигателей (создания тяги) превышают несколько часов.
Также для химических двигателей с большой тягой действует эффект Оберта — включение ракетного двигателя при движении с высокой скоростью создаёт больше полезной энергии, чем такой же ракетный двигатель при медленной скорости. При движении с высокой скоростью топливо имеет больше кинетической энергии (она может даже превысить потенциальную химическую энергию), и эта энергия может использоваться для получения большей механической мощности.
Дельта-v для разных целей [ править | править код ]
Выход на земную орбиту [ править | править код ]
Запуск на низкую околоземную орбиту (НОО) с поверхности Земли требует дельта-v около 7,8 км/с плюс от 1,5 до 2,0 км/с , затрачиваемых на преодоление сопротивления атмосферы, гравитационные потери и манёвры по тангажу. Надо учитывать, что при запуске с поверхности Земли в восточном направлении к скорости ракеты-носителя добавляется от 0 (на полюсах) до 0,4651 км/с (на экваторе) скорости вращения Земли, а при старте в западном направлении (на ретроградную орбиту) скорость ракеты при старте уменьшается на ту же величину, что приводит к уменьшению полезной нагрузки ракеты-носителя (как у израильской ракеты «Шавит»).
Орбитальные процедуры [ править | править код ]
| Манёвр | Требуемая Δ v за год [м/с] | |||
|---|---|---|---|---|
| Средняя | Макс. | |||
| Компенсация сопротивления атмосферы на высоте орбиты… | 400—500 км | 600 км | [2] | 0—400 |
Космические перелёты [ править | править код ]
Все скорости в таблице ниже указаны в км/с. Диапазоны скоростей указаны, так как Δ v вывода на орбиту зависит от места запуска на поверхности Земли и параметров переходных орбит.
Как известно из геометрии, положение точки в пространстве и его изменение можно описать двумя способами:
- Один из них требует введения понятия "радиус-вектор". Радиусом-вектором (r) называется направленный отрезок, соединяющий начало координат и точку с произвольными координатами. Положение точки в пространстве в заданной системе отсчета будет полностью определено, если известен r (его положение относительно осей координат и его размеры) (рис. 1).
- Второй способ описания местоположения точки связан с первым: точка может быть задана с помощью трех координат, которые в данном случае равны проекциям вектора на оси Ox; Oy; Oz (проекция вектора r на ось Ох обозначается rх, на ось Оу — rу, на ось Oz — rz). Следует отличать проекции вектора от составляющих вектора.
Первый способ предполагает, что любое изменение положения точки должно описываться как результат сложения радиуса-вектора с его изменением (приращением). Этот способ связан с достаточно трудоемкой операцией сложения векторов по правилу параллелограмма.
Второй способ приводит к сложению алгебраических величин — координат, что является более привычной операцией.
Таким образом, оба способа описания положения точки в пространстве однозначно связаны между собой, но в школьном курсе при решении задач предпочтение отдается координатному методу (хотя есть ряд задач повышенной трудности, решить которые можно только с помощью векторного подхода).
Заметим, что Государственным стандартом введены следующие обозначения:
- r — векторная величина (в данном случае радиус-вектор);
- |r| — ее модуль;
- rх — проекция вектора r на ось х.
При этом нетрудно доказать, что модуль вектора будет равен
Рассмотрим, как меняется радиус-вектор при движении точки в пространстве.
Пусть в момент времени t0 = 0 точка А имеет координаты х0, у0, z0, (что соответственно описывается радиусом-вектором r0), а по истечении некоторого промежутка времени t1 материальная точка переместилась в точку В, ее координаты стали равными x1, у1, z1 (что соответственно описывается радиусом-вектором r1) (рис. 2).
Для того чтобы рассчитать, как изменилась величина, необходимо вычесть из ее нового значения предыдущее, то есть дельта r = r1 — r0 . Эту величину называют перемещением. Нетрудно заметить, что для координат это изменение можно записать следующим образом:
Следовательно, для того чтобы определить местоположение точки через какой-то промежуток времени t1, необходимо знать начальный радиус-вектор и перемещение за промежуток времени t1. Эта же задача может быть решена, если известны начальные координаты и их приращение за промежуток времени t1
Очень важно отметить, что перемещение чаще всего не совпадает с траекторией, поэтому модуль перемещения отличается от пройденного пути (за исключением того случая, когда траектория точки есть прямая линия) (см. рис. 2).
Перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении точка сместилась при своем движении. Однако эта величина не позволяет оценить характер движения. Для этого необходимо ввести еще одну величину, характеризующую быстроту движения. Такой величиной является средняя скорость (vср), которая показывает, как быстро в среднем перемещалась точка:
где vср — средняя скорость; дельта r— перемещение; дельта t — промежуток времени, за который перемещение произошло.
В Международной системе единиц (СИ) модуль скорости измеряется в м/с. В практике применяются и другие единицы: км/ч; см/с и т. д.
Знания средней скорости недостаточно для подробного описания движения. Средняя скорость позволяет тем точнее описывать процесс движения, чем за меньший промежуток времени рассматривается перемещение точки.
При стремлении дельта t к нулю дробь дельта r/ дельта t будет стремиться к некоторому значению средней скорости, характеризующему движение материальной точки, вблизи которой был взят малый интервал времени дельта t и соответственно малое изменение вектора перемещения дельта r.
Это значение, т. е. предел, к которому стремится дробь дельта r/ дельта t при стремлении дельта t к нулю, называют мгновенной скоростью в данной точке или в данный момент времени и обозначают v:
Так как дельта t — скалярная величина, то направление скорости совпадает с направлением вектора перемещения. Если дельта r стремится к нулю, то нетрудно увидеть, что направление мгновенной скорости в точке траектории совпадает с касательной (рис. 3).
Итак, вектор v скорости точки направлен по касательной к траектории точки в сторону ее перемещения. Модуль вектора скорости v характеризует быстроту перемещения точки по траектории.
Прибор, которым измеряют скорость, называется спидометром.
Любой вектор можно разложить на его составляющие, при этом следует выполнить требование: векторная сумма составляющих вектора должна быть равна вектору, который подлежал разложению.
На рис. 4, а и б изображены векторы и их составляющие. Напомним, что проекция вектора на ось — алгебраическая величина, численно равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью (при этом в трехмерном пространстве рассматривается угол между плоскостью, которая проходит через вектор, и интересующей нас осью). Рассмотрим пример в двухмерном пространстве: если вектор r расположен на плоскости хОу, то его проекция на ось Ох равна rx = r*cosa (рис. 5).
Вектор скорости с течением времени может изменяться: либо его модуль, либо направление, либо то и другое. Для характеристики быстроты изменения скорости движущейся точки вводится понятие ускорения. Ускорение (а) — векторная величина. Оно равно отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло:
Если выбирать все меньшие и меньшие промежутки времени, то аср будет более точно описывать характер изменения скорости точки, и в пределе можно получить мгновенное ускорение точки, которое будет направлено туда же, куда направлен вектор изменения скорости дельта v.
Отметим, что ускорение направлено в сторону изменения скорости, но не в сторону самой скорости. Например, при движении брошенного вверх тела скорость направлена вверх, но она убывает, при этом изменение скорости направлено вниз. Следовательно, и ускорение направлено в этом случае вниз. Оно носит название ускорения свободного падения (обозначение g).
Ускорение измеряется в Международной системе единиц (СИ) в 1 м/с 2 . Физический смысл единицы ускорения: 1 м/с 2 — это такое ускорение, при котором за 1 с скорость изменяется на 1 м/с при условии, что ускорение в этот промежуток времени остается постоянным.
Ускорение измеряется прибором, который называется акселерометром
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
1. Введение
Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью. Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.
Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:
- Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
- Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;
- Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
- Провести измерения на различных высотах.
Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.
Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.
Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли. Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника. Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.
В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.
2. Основная часть
2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения
Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами. Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе. Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв. Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.
Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с "постоянным ускорением"; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину. Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня. Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха. Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.
Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:
Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:
Остается еще добавить небольшой комментарий относительно экспериментов со свободным падением тел Исаака Ньютона. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.
2.2. Практическая значимость нахождения значения ускорения свободного падения
Я много читаю и, как следствие склонен фантазировать. Для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь от значения g на другой планете зависит не только сила тяжести. Люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.
2.3. Методы измерения ускорения свободного падения
На самом деле методов по измерению ускорения свободного падения достаточно много. Приведу только те, которые сам испробовал.
1) Измерение ускорения свободного падения с помощью наклонной плоскости
Понадобится следующее оборудование:деревянный брусок, трибометр, штатив с муфтой и лапкой, электронный секундомер, динамометр, измерительная лента, линейка. Рассматривая движение бруска вниз по наклонной плоскости, можно записать второй закон Ньютона в векторном виде:
Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:
и учитывая, что N = mgcos α ; Fтр = μN; можно решить данную систему уравнений и получить ускорение свободного падения:
| g = | a |
| sin α – μcos α |
При этом ускорение a можно вычислить из формулы
| S = | a t 2 | , |
| 2 |
так как начальная скорость бруска при скольжении по наклонной плоскости равна 0:
| a = | 2S | . |
| t 2 |
Видим, что для этого нужно измерить длину наклонной плоскости и время скольжения по ней бруска.
Для вычисления sinα и cosα нужно знать длину S и высоту h наклонной плоскости:
| sin α = | h |
| S |
Для определения коэффициента трения скольжения положим трибометр на горизонтальную поверхность и с помощью динамометра равномерно протащим по нему брусок. В этом случае на брусок будут действовать 4 силы: сила тяжести, сила упругости пружины динамометра, сила трения, сила реакции опоры.
При равномерном движении бруска эти силы будут попарно равны: Fтр = Fупр, Fтяж = N, т. е. Fупр = μFтяж, тогда коэффициент трения равен
| μ = | Fy |
| Fт |
Для меня в этом методе оказалось слишком много математических действий, с которыми в курсе математики я еще не знаком. Поэтому даже не буду приводить результаты проделанных измерений и вычислений.
2) Определение g благодаря давлению жидкости
Как известно давление столба жидкости обусловлено следующими факторами: плотность жидкости, непосредственно высота столба жидкости и само значение ускорения свободного падения на данной планете.
Если преобразовать формулу P = ρ gh, получится формула нахождения g. Эта формула выглядит так g = P / ρ h, где Р – давление в жидкости на глубине h, которое можно узнать с помощью манометра, ρ – плотность воды равное 1000 кг/м 3 .
При подобных измерениях нужно учитывать погрешность измерительного прибора, манометра. Достаточно точного мне найти не удалось, поэтому для своих исследований я выбрал другой метод.
3) Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
Необходимое оборудование: секундомер, штатив с муфтой и лапкой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника
С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период
| T = | t | , |
| N |
и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле
| g = 4 π 2 | l N 2 | . |
| t 2 cр |
Подготовка к проведению работы
В работе используется простейший маятник – шарик на нити. При малых размерах по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника
| T = | t | , |
| N |
и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле
| g = 4 π 2 | l N 2 | . |
| t 2 cр |
Результаты измерений и вычислений представлены в разделе 2.5
2.4. Теоретические расчеты по определению ускорения свободного падения различных высотах
Теоретически значение ускорения свободного падения на поверхности планеты Земля можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:
| g = G | M | , |
| R 2 |
где G — гравитационная постоянная (G = 6,6743 · 10 –11 (H ·м 2 )/кг 2 ).
При вычислениях я применял такие значения:
R = 6370 · 10 3 м – радиус Земли на широте Казани;
M = 5,9722 · 10 24 кг – масса Земли.
Таким образом теоретическое значение gт = 9,823386 м/с 2 .
| g = G | M | , |
| (R ± h) 2 |
естественно предположить, что ускорение свободного падения на разных высотах будет немного отличаться: на глубине будет больше, а на высоте меньше вычисленного выше.
Возможно эту небольшую разницу можно объяснить погрешностью измерений. Проверим.
Результаты вычислений значения ускорения свободного падения на различных высотах представлены в таблице:
На станции метро Кремлевская
На 36-м этаже небоскреба
2.5. Экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
Как уже говорилось ранее, оборудование для проведения измерений требовалось весьма не замысловатое: секундомер, штатив с муфтой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника
С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период
| T = | t | , |
| N |
и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле
| g = 4 π 2 | l N 2 | . |
| t 2 cр |
Ход работы
Для начала я проделал все необходимые измерения в классе, в кабинете физики Лицея № 110. Кабинет находится на втором этаже. Учитывая высоту потолков (около 3 м), логично предположить, что вычисленные значения g должны быть близки к gт.
