Изучение законов динамики вращательного движения; теоретическое и экспериментальное определение момента инерции крестообразного маятника Обербека; изучение зависимостей угловой скорости и момента силы от момента инерции.
Моментом силы F относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора 
, проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы 
: 
.
М
оментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на данную ось вектора момента силы относительно какой-либо точки той же оси.
Если рассмотреть отдельную материальную точку массой dm, вращающуюся вокруг оси на расстоянии r, то ее момент инерции равен J=dmr 2 . Твердое тело можно мысленно представить как совокупность большого числа n материальных точек dmi и просуммировать моменты инерции всех точек относительно данной оси:
(1)
Если тело однородно, то dm=dV, где — плотность, dV – элементарный объем. Тогда момент инерции всего тела может быть рассчитан по формуле:
(2)
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела J0, то можно вычислить момент инерции тела относительно оси с помощью теоремы Штейнера: момент инерции J относительно произвольной оси вращения равен сумме моментов инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:
Покажем, как, пользуясь теоремой Штейнера и выражением для момента инерции цилиндра, полученным из (2) после интегрирования по объему, можно рассчитать момент инерции крестообразного маятника Обербека.
Момент инерции всего маятника относительно оси вращения равен сумме моментов инерции четырех стержней с цилиндрическими грузами на них, момента инерции втулки, в которой крепятся стержни, и момента инерции барабана:
У втулки и барабана ось вращения проходит через их центр масс, это цилиндрические тела, поэтому:
Момент инерции стержня длиной lст, относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярный ему 
Момент инерции грузов найдем, считая грузы материальными точками массой m, так как их рамеры малы по сравнению с расстоянием до оси вращения: Jгр=mгрx 2 , где x – расстояние от центра груза до оси вращения. Все части маятника – цилиндры, поэтому их массы запишутся 
, где =7.810 3 кг/м 3 – плотность стали, d – диаметр цилиндра, l – его высота или длина.
(5)
Момент силы 
, момент инерции J и угловое ускорение 
связаны основным законом динамики вращательного движения: 
.
Учитывая, что 
, этот закон можно записать в виде:
(6)
где 
— момент импульса (количества движения) тела.
Маятник Обербека состоит из четырех стержней, расположенных под прямым углом друг к другу, втулки и барабана, на который наматывается нить. По стержням могут перемещаться грузы равной массы, которые могут быть укреплены в любых точках стержня.
М
аятник приводится во вращение с помощью груза m, подвешенного на шнуре, который наматывается на барабан. Если груз поднять на некоторую высоту h, то он будет опускаться, вращая барабан, а с ним и весь маятник.
1. Момент инерции маятника можно определить из основного закона динамики вращательного движения 
, где 
— момент силы, приводящий маятник во вращение, 
— его угловое ускорение. Выразим момент силы и угловое ускорение через величины, легко измеряемые на опыте. Момент силы – это произведение силы на плечо ее приложения, то есть радиус барабана rб. Силой, вращающей маятник, является сила натяжения шнура. Для определения силы натяжения шнура рассмотрим силы, действующие на груз.
Со стороны Земли действует сила тяжести mg, со стороны шнура – сила натяжения Fн. По второму закону Ньютона 
, где 
— линейное ускорение груза. Спроектируем на вертикальную ось:
(7)
Ускорение груза a найдем из формулы равноускоренного движения h=at 2 /2, где h – высота, с которой опускается груз, t – время движения. Получим a=2h/t 2 . Окончательно момент силы:
(8)
Угловое ускорение маятника и барабана найдем, связав его с линейным ускорением груза a. Так как шнур плотно намотан на барабан, он сообщает точкам его поверхности то же линейное ускорение, которое имеет груз. Поэтому a=rб одновременно является линейным ускорением груза и точек поверхности барабана. Тогда:
(9)
Подставив (10) и (9) в (7), получим 
, откуда
(10)
2. С помощью маятника Обербека можно опытным путем получить связь между и моментом инерции J.
Меняя расстояние от грузов на стержнях до оси вращения, мы тем самым меняем момент инерции маятника. Поэтому, в соответствии с основным законом динамики вращательного движения, если J1>J2, должно получиться 1
(c)
Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнения динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и динамики вращательного движения для маятника.
Груз массой m движется с ускорением 
под действием результирующей сил тяжести 
и силы натяжения нити 
. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения:
(1)
Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила 
, равная по величине и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: 
). Сила натяжения создает вращательный момент 
относительно горизонтальной оси O, направленный «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна 
, где R – радиус шкива, на который намотана нить, 
, где D -диаметр шкива.
Момент силы сопротивления относительно оси вращения 
направлен в противоположную сторону (к нам).
Основной закон динамики вращательного движения:
,
где 
— результирующий момент сил,
J – момент инерции маятника,
— угловое ускорение.
В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения О, направление которой выбрано «от нас»):
(2)
Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения 
, а также уравнение движения груза 
, выразим e через измеряемые величины x и t:
(3)
Решим систему уравнений (1) и (2), для чего умножим (1) на R и сложим с (2):
.
Выражаем момент инерции маятника Обербека:
(4)
Все величины, кроме МСОПР, входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения МСОПР.
Пусть I – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (4) следует, что
(5)
В условиях эксперимента 
, что позволяет считать зависимость e(m) линейной.
Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины 
. Действительно, если полученную экспериментально зависимость 
экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки 
на этой оси, для которой выполняется (см. 5) равенство 
, то это позволяет определить как
. (6)
Для определения момента инерции маятника I воспользуемся (4), где величина МСОПР предварительно определена из измерений e(m) и формулы (6). Подставив выражение e из (3) и МСОПР из (6) в (4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника
.
Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство 
. Учитывая это, получаем: 
.
Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:
(7)
где 
.
Величины коэффициентов k: k1, k2 для соответствующих диаметров шкивов D1,D2 указываются в паспорте установки. Для определения момента инерции маятника необходимо измерить время t опускания груза массой m.
Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения
Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции крестовины со шкивами (I1) и моментов инерции четырех грузиков, закрепленных на расстояниях r от оси вращения (4I2). Если размеры этих грузиков малы в сравнении с r, можно считать, что I2=m1r 2 — момент инерции материальной точки. Тогда момент инерции маятника
(8)
Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (7).
Значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.
Задание к работе:
1. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, намотайте нить на шкив большего диаметра. Для трёх значений массы подвешенного груза m измерьте время опускания груза t для заданного расстояния x. По формуле (3) рассчитайте величину углового ускорения e для соответствующих значений m.
2. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение m0, при котором e=0. Рассчитайте по формуле (6) величину момента сил сопротивления МСОПР.
3. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния x.
4. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную погрешность измерения 
при доверительной вероятности Р=90%, n=5 (см. «Введение»).
5. Вычислите по формуле (7) среднее значение момента инерции крестовины со шкивами 
.
6. Определите доверительную погрешность косвенных измерений момента инерции крестовины 
(см. «Введение») и запишите результаты в виде 
.
7. Закрепив грузы m1 на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения, определите это расстояние либо с помощью линейки, либо используя указанные около установки исходные данные.
8. Проведите однократные измерения времени t опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трёх различных расстояниях r от оси вращения.
9. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (7) при различных расстояниях r. При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины m0 её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (8) для соответствующих значений r. Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.
10. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от r 2 , проанализируйте причины их несовпадения.
1. Какова цель данной работы?
2. Момент инерции, его физический смысл.
3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?
4. Исходя их уравнений динамики поступательного и вращательного движения, вывести рабочую формулу (7).
5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?
6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?
7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вращения?
1. Савельев И.В. Курс общей физики. — М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.
Лабораторная работа №3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
1. Определить экспериментальным путём момент инерции маятника с учётом действия тормозящего момента сил сопротивления.
2. Исследовать экспериментальную зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов, закреплённых на стержнях маятника, до оси вращения и сравнить с теоретической зависимостью.
3. Рассчитать момент инерции маятника Обербека на основе уравнения динамики поступательного движения груза, прикреплённого к нити, наматываемой на шкив маятника, и уравнения вращательного движения маятника.
Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из четырёх стержней с нанесенными на них делениями, прикреплённых к барабану с осью (Рис.3.1). На стержни надеваются одинаковые грузы массой 
, которые могут быть закреплены на расстоянии 
от оси вращения. На барабане имеется два шкива с различными диаметрами 
и 
. На шкив наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется груз массой 
. Под действием груза нить разматывается и приводит маятник во вращательное движение, которое предполагается равноускоренным. Время движения груза 
измеряется электронным секундомером, включение которого производится кнопкой «Пуск», а остановка происходит по сигналу фотодатчика. Груз опускается на расстояние x, измеряемое вертикально закрепленной линейкой. Установка имеет электромеханическое тормозное устройство, управление которого осуществляется по сигналу фотодатчика.
Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнение динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и уравнение динамики вращательного движения для маятника.
Груз массой движется с ускорением 
под действием результирующей сил тяжести 
и силы натяжения нити 
(Рис.3.2). Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на направление движения:
(3.1)
Рис.3.2
Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила 
, равная по величине 
и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: 
). Сила натяжения создает вращательный момент 
относительно горизонтальной оси O, направленный вдоль этой оси «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна 
, где 
– радиус шкива, на который намотана нить, 
, где 
— диаметр шкива.
Момент силы сопротивления относительно оси вращения 
направлен в противоположную сторону (к нам).
Запишем для маятника основной закон динамики вращательного движения:
,
где 
— результирующий момент сил,
– момент инерции маятника,
— угловое ускорение.
В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения О, направление которой выбрано «от нас»):
(3.2)
Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения 
, а также уравнение движения груза при нулевой начальной скорости 
, выразим 
через измеряемые величины 
и :
. (3.3)
Решим систему уравнений (3.1) и (3.2), для чего умножим (3.1) на и сложим с (3.2):
.
Выражаем момент инерции маятника Обербека:
. (3.4)
Все величины, кроме 
, входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения .
Пусть I – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (3.4) следует, что
. (3.5)
В условиях эксперимента 
, что позволяет считать зависимость e(m) линейной.
Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины . Действительно, если полученную экспериментально зависимость 
экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки 
на этой оси, для которой выполняется (см. 3.5) равенство 
, то это позволяет определить как
. (3.6)
Для определения момента инерции маятника I воспользуемся (3.4), где величина предварительно определена из измерений e(m) и формулы (3.6). Подставив выражение e из (3.3) и из (3.6) в (3.4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника
.
Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство 
. Учитывая это, получаем: 
.
Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:
(3.7)
где 
.
Для определения момента инерции маятника необходимо измерить время опускания груза массой на расстояние 
.
Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения
Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции барабана со стержнями (
) и моментов инерции четырех грузов массой , закрепленных на расстояниях r от оси вращения (
). Если размеры этих грузиков малы по сравнению с , то их можно считать материальными точками. Для материальной точки момент инерции равен 
. Тогда момент инерции маятника
. (3.8)
Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (3.7).
Значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.
Задание к работе
1. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, если они там находятся.
2. Заранее выберите отметку (например, 50см), от которой начнется движение груза .
3. Вращая маятник рукой, намотайте нить на шкив большего диаметра, следя, чтобы груз достиг выбранного положения.
4. Включите электронный секундомер.
5. Проведите первый опыт, используя в качестве груза, тянущего нить, только одну подставку массой 
без подгрузков. Предварительно нажатием кнопки «Режим» установите режим №1 (светится индикатор «Реж.1»). Затем нажмите кнопку «Пуск». При этом отключится тормозное устройство, удерживающее маятник, и одновременно включится секундомер. При включенном режиме №1 секундомер в момент прохождения грузом нижней точки автоматически остановится, причем одновременно сработает тормозное устройство. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений.
6. Проведите по одному опыту, поместив на подставку сначала один, а затем сразу два подгрузка. Результаты внесите в таблицу измерений. По формуле (3.3) рассчитайте величину углового ускорения для соответствующих значений .
7. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение m0, при котором e=0. Рассчитайте по формуле (3.6) величину момента сил сопротивления 
.
8. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния x.
9. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную погрешность измерения 
при доверительной вероятности Р = 90%, n = 5 (см. «Введение»).
10. Вычислите по формуле (3.7) среднее значение момента инерции барабана со стержнями 
.
11. Определите доверительную погрешность косвенных измерений этого момента инерции 
(см. «Введение») и запишите результаты в виде 
.
12. Закрепив грузы m1 на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения, определите это расстояние, используя деления нанесенные на стержни и указанные около установки исходные данные.
13. Проведите однократные измерения времени опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трёх различных расстояниях r от оси вращения.
14. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (3.7) при различных расстояниях r. При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины m0 её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (3.8) для соответствующих значений r. Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.
15. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от 
. Нанесите на график точки, соответствующие результатам, полученным при выполнении индивидуальных заданий. Проанализируйте возможные причины их несовпадения.
Контрольные вопросы
1. Какова цель данной работы?
2. Момент инерции, его физический смысл.
3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?
4. Исходя их уравнений динамики поступательного и вращательного движения, вывести рабочую формулу (3.7).
5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?
6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?
7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вращения?
Индивидуальные задания для членов бригады, выполняющих лабораторную работу на одной установке
Номер члена бригады
Индивидуальное задание
Рассчитайте момент инерции маятника Обербека, состоящего из барабана и четырех спиц (без грузов, закрепленных на спицах). Численные значения масс и размеров барабана и спиц возьмите в таблице исходных данных, помещенной около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты.
Рассчитайте момент инерции маятника Обербека с грузами, закрепленными на одинаковых расстояниях на всех четырех спицах. Расстояние от поверхности барабана до грузов, закрепленных на спицах, возьмите максимально возможным (грузы — на самом конце спиц). Численные значения масс и размеров барабана, спиц и грузов возьмите в таблице исходных данных, помещенной около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты.
Выполните задание аналогичное заданию для второго номера, но расстояние от поверхности барабана до грузов, закрепленных на спицах, возьмите равным половине длины спицы (грузы – на середине спиц).
1. Савельев Курс общей физики. — М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.
