«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»
Д. Пойа (1887-1985 г.)
(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)
Обратные матрицы используются при решении матричных уравнений.
Простейшими матричными уравнениями называются соотношения вида: АХ=В и ХА=В, где А,В— известные матрицы, Х – неизвестная.
Если дано уравнение вида АХ=В, то решение выглядит так Х=А -1 В.
Если уравнение вида ХА=В, то Х=ВА -1 .
Непосредственной подстановкой легко установить, что найденное Х является решением соответствующего уравнения.
ПРИМЕРЫ: Решить матричные уравнения.
РЕШЕНИЕ:
Тогда нам дано уравнение вида ХА=В, следовательно Х=ВА -1 . Найдем A -1 .
Тогда нам дано уравнение вида АX=В, следовательно Х=А -1 B. Найдем A -1 .
Как вычислить определитель смотреть здесь.
Как умножать матрицы можно посмотреть здесь.
Как найти обратную матрицу можно посмотреть здесь.
Упражнения к уроку:
Решить матричные уравнения:
Автор: Аникина Анна
Комментарии к этой заметке:
Как можно решить логарифм матрицы простейшем способом?
все очень хорошо. Мог бы переслать Вам ,разработанный мной калькулятор для решения матричных уравнений, но не знаю как это исполнить.Хочется узнать Ваше мнение о нем
А как решить уравнение вроде ХА=В+2Х. Вот что делать с 2Х?
Доброго времени суток, Юлия! Необходимо представить 2Х=Х2Е (Е-единичная матрица соответствующего размера). А далее использовать свойства действий с матрицами.
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x — неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу 
слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: 
, поэтому
.
Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как 
. Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
; 
; 
Причем элементы матриц А и В заданы, а Х1, Х2, Х3 – неизвестные.
Тогда уравнение А × Х = В называется простейшим матричным уравнением.
Чтобы его решить, т.е. найти элементы матрицы неизвестных Х, поступим следующим образом:
1. Умножим обе части уравнения на матрицу А -1 , обратную для матрицы А, слева:
А -1 (А × Х) = А -1 × В
2. Используя свойство умножения матриц, запишем
(А -1 × А) Х = А -1 × В
3. Из определения обратной матрицы
(А -1 × А = Е) имеем Е × Х = А -1 × В.
4. Используя свойство единичной матрицы (Е × Х = Х), окончательно получим Х = А -1 × В
Замечание. Если матричное уравнение имеет вид Х × С = Д, то для нахождения неизвестной матрицы Х уравнение необходимо умножать на С -1 справа.
Пример. Решить матричное уравнение
Решение. Введем обозначения
А = 
; В = 
,
Их определения умножения матриц с учетом размерностей А и В матрица неизвестных Х будет иметь вид
Х = 
С учетом введенных обозначений имеем
А × Х = В откуда Х = А -1 × В
Найдем А -1 по алгоритму построения обратной матрицы
Тогда для Х получим
Х = 
откуда х1 = 3, х2 = 2
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера (m x n)
Минором к-ого порядка матрицы А будем называть определитель порядка к, элементами которого являются элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых К строк и любых К столбцов. Очевидно, к £ min (m, n).
Определение. Рангом r(A) матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.
Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.
Определение. Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными.
Вычисление ранга матрицы
Определение. Матрица называется ступенчатой, если под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижележащих строках.
Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Таким образом, преобразуя матрицу к ступенчатому виду, несложно определить ее ранг. Эта операция осуществляется с помощью элементарных преобразований матрицы, которые не изменяют ее ранга:
— умножение всех элементов ряда матрицы на число l ¹ 0;
— замена строк столбцами и наоборот;
— перестановка местами параллельных рядов;
— вычеркивание нулевого ряда;
— прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.
Пример. Вычислить ранг матрицы
А = 
Решение. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-3).
К четвертой строке прибавим третью.
А
Число ненулевых строк в полученной эквивалентной матрице равно трем, следовательно r(А) = 3.
Системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Методы их решения
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.
а11х1 + а12х2 + … + а1nxn = b1
Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х1, х2, …, хn), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).
A = 
Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.
В = 
Матричный метод
Х = 
— матрица неизвестных;
С = 
— матрица свободных членов системы (1).
Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения
Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А -1 × С, где А -1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).
Метод Крамера
Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:
где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dхi получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т.е.
D = 
;
Dх1 = 
;
Dх2 = 
; … ;
Dхn = 
;
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера
2х1 + 3х2 + 4х3 = 15
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы
D = det A = 
= 44 ¹ 0
Вычислим вспомогательные определители
Dх1 = 
= 0;
Dх2 = 
= 44;
Dх3 = 
= 132.
По формулам Крамера найдем неизвестные
; 
; 
.
Метод Гаусса
Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. в приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы и она приобретает также треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.
Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса
3х1 + 2х2 + х3 = 17
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем, содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.
В = 
Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях
Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:
После умножения второй строки на 
и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако чтобы упростить вычисления можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:
Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:
Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной
х1 + 4х2 — 3х3 = 9
Из последнего уравнения находим 
Найденное значение х3 = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х2 = 2х3 = 2 × 1 = 2.
После подстановки х3 = 1 и х2 = 2 в первое уравнение для х1 получим х1 = 9 — 4х2 + 3х3 = 9 — 4 × 2 + 3 × 1 = 4.
Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.
3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно
