На этой странице мы собрали простые и сложные примеры из курса высшей математики — от векторов и матриц до дифференциальных уравнений. На каждую тему приведен один решенный пример и даны ссылки на разделы, где собраны другие решения. Фактически, это шпаргалка-каталог типовых задач и решений к ним.
Если вам нужна помощь, узнайте больше о заказе решений по высшей математике.
Далее решенные задачи по темам:
Высшая математика. Комплексные числа
Задача. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Высшая математика. Матрицы
Задача. Найти матрицу, обратную матрице $A$. Сделать проверку.
$$A= egin
Высшая математика. Определители
Задача. Вычислить определитель матрицы $A$
$$A= egin
Высшая математика. Системы уравнений
Задача. Исследовать на совместность и решить систему уравнений: 
Высшая математика. Векторы
Задача. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.
Аналитическая геометрия на плоскости
Задача. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Аналитическая геометрия в пространстве
Задача. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.
Высшая математика. Пределы
Задача. Найти предел функции
Высшая математика. Производные
Задача. Найти производную от следующей функции
Высшая математика. Исследование функции
Задача. Провести полное исследование функции и построить график.
Высшая математика. Интегралы
Высшая математика. Применение интегралов
Задача. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:
$$ x=3(1-cos t)cos t, quad y=3(1-cos t)sin t, quad 0leq t leq pi. $$
Высшая математика. Кратные и криволинейные интегралы
Высшая математика. Ряды
Задача. Исследовать сходимость числового ряда
Высшая математика. Дифференциальные уравнения
Задача. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
Высшая математика. Теория вероятностей
Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 8; б) произведение числа очков не превосходит 8; в) произведение числа очков делится на 8.
Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.
Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.
Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.
Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами 
Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:
Данная матрица состоит из шести элементов: 
Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет: 
Это просто таблица (набор) чисел!
Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!
Рассматриваемая матрица имеет две строки: 
и три столбца: 
СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».
Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: 
– матрица «три на три».
Если в матрице один столбец 
или одна строка 
, то такие матрицы также называют векторами.
На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: 
. По существу, координаты точки 
записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: 
и 
– это две совершенно разные точки плоскости.
Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:
1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).
Вернемся к нашей матрице 
. Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.
Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: 
У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.
Обратный пример: 
. Выглядит безобразно.
Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:
Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.
2) Действие второе. Умножение матрицы на число.
Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.
Еще один полезный пример:
– умножение матрицы на дробь
Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО: 
Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если 
– окончательный ответ задания).
И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:
Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.
Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:
А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на 
, так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.
3) Действие третье. Транспонирование матрицы.
Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.
Транспонировать матрицу 
Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:
– транспонированная матрица.
Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом 
или штрихом справа вверху.
Транспонировать матрицу 
Сначала переписываем первую строку в первый столбец:
Потом переписываем вторую строку во второй столбец: 
И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:
Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.
4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.
Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.
Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой! 
Сложить матрицы 
и 
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:
Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.
Найти разность матриц 
, 
А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу 
:
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.
5) Действие пятое. Умножение матриц.
Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.
Какие матрицы можно умножать?
Чтобы матрицу 
можно было умножить на матрицу 
нужно, чтобы число столбцов матрицы 
равнялось числу строк матрицы 
.
Пример:
Можно ли умножить матрицу 
на матрицу 
?
, значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!
, следовательно, выполнить умножение невозможно:
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, 
и 
возможно как умножение 
, так и умножение 
Как умножить матрицы?
Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.
Начнем с самого простого:
Умножить матрицу 
на матрицу 
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:
– попытайтесь сразу уловить закономерность.
Умножить матрицу 
на матрицу 
Формула: 
В результате получена так называемая нулевая матрица.
Попробуйте самостоятельно выполнить умножение 
(правильный ответ 
).
Обратите внимание, что 
! Это почти всегда так!
Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!
Если в задании предложено умножить матрицу 
на матрицу 
, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.
Переходим к матрицам третьего порядка:
Умножить матрицу 
на матрицу 
Формула очень похожа на предыдущие формулы: 
А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:
Умножьте матрицу 
на матрицу 
Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!
Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.
А пока спектакль закончен.
После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com
Матрицы — что это?
Матрицы в математике — один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто экскурс в теорию матриц начинают со слов: "Матрица — это прямоугольная таблица. ". Мы начнём этот экскурс несколько с другой стороны.
Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте — ни что иное, как матрицы. Такие матрицы имеют примерно следующий вид:
Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца — имя и телефон).
Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции, однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому же можно и подвинуться рассудком.
Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.
Матрицы, в которых столбцы — выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки — годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:
Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.
Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки — средняя себестоимость того или иного вида продукции:
Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка, содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.
Матрицы, основные определения
Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей) и записывается так:
(1)
В матрице (1) числа 
называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, . m; j = 1, 2, n).
Матрица называется прямоугольной, если 
.
Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.
Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A|.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.
Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.
Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или 
.
,
Матрицей-строкой (или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой) – m1-матрица.
Матрица A‘ , которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица
Операция перехода к матрице A‘ , транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A. Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.
Транспонированной относительно матрицы 
является матрица A, то есть
Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 1. Найти матрицу A‘ , транспонированную относительно матрицы
и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.
Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.
Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица
Пример 2. Даны матрицы:
Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).
Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём
Определитель матрицы B вычислим по формуле 
Легко получаем, что 
Следовательно, матрицы A и 
– неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B– особенная (вырожденная, сингулярная).
Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.
Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Даны матрицы
,
,
.
Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).
Применение матриц в математико-экономическом моделировании
В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными средствами линейной алгебры.
Так, известной матричной моделью экономики является модель "затраты-выпуск", внедрённая американским экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный сектор экономики разбит на n чистых отраслей. Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли выпускают разную продукцию. Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которых состоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.
Объём продукции i-й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена за отчётный период, обозначается через 
и называется полным выпуском i-й отрасли. Выпуски 
удобно разместить в n-компонентную строку матрицы.
Количество единиц продукции i-й отрасли, которое необходимо затратить j-й отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается 
и называется коэффициентом прямых затрат.
Коэффициенты прямых затрат 
, среди которых многие могут равняться нулю, удобно записать в nxn матрицу коэффициентов прямых затрат:
Матрица содержит много информации о структуре межотраслевых связей. При этом j-й столбец матрицы полностью характеризует затраты j-й отрасли для производства единицы продукции.
Пример 4. На некоторой благоустроенной исследовательской странции в Арктике действуют три отрасли производства. Первая из них — небольшая электростанция, производящая электроэнергию. Вторая — установка для производства пресной воды из снега. Третья — хлебопекарня.
Записать в матрицу коэффициентов прямых затрат данные о том, что 0,10 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы электроэнергии, 0,40 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы пресной воды, 0,30 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы хлебопродуктов; 0,05 единиц пресной воды расходуется для производства одной единицы электроэнергии, 0 единиц пресной воды расходуется на производство одной единицы пресной воды, 0,20 единиц пресной воды расходуется на производство одной единицы хлебопродуктов; затраты же хлебопродуктов на производство всех видов продукции, включая хлебопродукту равны нулю.
Решение. Записываем коэффициенты затрат каждой отрасли в свою строку: электростанции — в первую, установки для производства пресной воды — во вторую, хлебопекарни — в третью. Получаем искомую матрицу:
Матрицы оказались очень востребованной структурой данных в программировании и вообще в информационных технологиях. В частности, такие объекты, как графы, в памяти компьютера часто задаются в форме матриц смежности и матриц инцидентности. Кроме того, матрицы очень удобны для формализации многих ситуаций в бизнесе и жизни вообще, задачи на которые решаются в теории игр.
