No Image

Как построить спектр сигнала

СОДЕРЖАНИЕ
28 просмотров
16 декабря 2019

Теоритическая часть. В теории спектрального анализа непериодических сигналов используется искусственный прием: одиночный импульс заменяется периодической последовательностью с бесконечно большим периодом следования.

Тогда сигнал запишется как:

В этом случае выражение рядов Фурье для периодического сигнала сохраняет смысл и приобретает вид:

Поскольку Т=2р/щ, то формула перепишется:

В предельном случае, когда и спектр сигнала станет не дискретным, а сплошным, а амплитуды отдельных составляющих будут стремиться к нулю.

При этом и переходит в , а nщ превращается в текущую частоту щ.

Тогда Сумма в последнем выражении превращается в интеграл:

S(щ) -спектральная плотность сигнала

Эти два выражения носят названия прямого и обратного преобразования Фурье.

Они связывают вещественную функцию (сигнал) и комплексную функцию частоты (спектральная плотность сигнала)

S(щ характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот.[1]

Дан сигнал S(t) = Е • Cos (р t/tи) , | t| ? tи/2 и S(t) = 0, | t| > tи/2 с параметрами

Найти спектр сигнала S(t) и его энергию. Изобразить спектральную диаграмму сигнала.

Тогда, сигнал приобретает вид

Рис.12 Вид сигнала

Расчет и построение спектра сигнала

Решение для интеграла :

Представим косинус с помощью формулы Эйлера в виде экспонент

Умножение на 1 в виде 2j/2j сделано для приведения результата вычисления к виду удобному для восприятия и построения. Получим:

Воспользуемся формулой Эйлера повторно, с целью преобразования экспоненциальных слагаемых в синус:

Помня, что косинус функция четная и отличается от синуса на р/2 получим:

Подставим исходные данные и получим:

Рис.13 Спектральное представление сигнала

Расчёт энергии сигнала:

Воспользуемся формулой понижения степени косинуса:

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Содержание

Базисные функции [ править | править код ]

В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

  • функции c o s ( ω t ) <displaystyle cos(omega t)>, s i n ( ω t ) <displaystyle sin(omega t)>являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
  • гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
  • для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
  • гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышёва и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Применение [ править | править код ]

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

Читайте также:  Как долго учиться программированию

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Математическое представление [ править | править код ]

Спектр сигнала s ( t ) <displaystyle s(t)> можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента 1 / 2 π <displaystyle 1/<sqrt <2pi >>> ) в виде:

S ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ s ( t ) e − i ω t d t <displaystyle S(omega )=int limits _<-infty >^<+infty >s(t)e^<-iomega t>dt> , где ω <displaystyle omega > — угловая частота равная 2 π f <displaystyle 2pi f> .

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: S ( ω ) = A ( ω ) e − i ϕ ( ω ) <displaystyle S(omega )=A(omega )e^<-iphi (omega )>> , где A ( ω ) <displaystyle A(omega )> — амплитудно-частотная характеристика сигнала, ϕ ( ω ) <displaystyle phi (omega )> — фазо-частотная характеристика сигнала.

Если под сигналом s ( t ) <displaystyle s(t)> понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе, будет равна E = ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t <displaystyle E=int limits _<-T/2>^s^<2>(t)dt> , средняя мощность — W = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t <displaystyle W=<frac <1>>int limits _<-T/2>^s^<2>(t)dt> .

Огибающая АЧС последовательности прямоугольных видеоим­пульсов описывается функцией

.

и пересекает ось частот, когда х кратно л, т. е. п кратно q, τ. е. при частотах, кратных скважности. Поэтому именно эти частоты, равные

отсутствуют в спектре.

Обычно при построении спектров откладывают относительные

величины, т. е. и получают

относительный или нормированный спектр (рис. 15.6).

Спектральные составляющие с наибольшей амплитудой распо­ложены под первыми арками, в них сосредоточена и основная часть энергии сигнала. Поэтому эффективную ширину спектра можно определить как:

. (15.26)

Теоретически ширина спектра бесконечна, однако не все его составляющие оказывают действенное влияние на форму сигнала и имеют практическое значение. Поэтому под шириной спектра обычно понимают ограниченный диапазон частот, внутри которого распределена большая часть энергии сигнала. Ширина спектра, так же как, например, полоса пропускания контура, — понятие условное.

Рассмотрим особенности АЧС при изменении длительности и частоты следования импульсов (рис, 15.7).

С уменьшением частоты следования Ω при tИ = const происхо­дит сгущение спектра: расстояние между спектральными линиями уменьшается. Ширина спектра, определяемая его огибающей, не меняется, а основная часть энергии распределяется на большем числе гармоник.

С увеличением длительности импульсов при Ω=const ширина арок и связанная с ней ширина спектра уменьшаются: происходит относительное сжатие спектра. Основная часть энергии распреде­ляется на меньшем числе гармоник и сосредоточивается в области все более низких частот.

Таким образом, чем короче импульсы и больше их скважность, тем шире и гуще их спектр, и наоборот.

На практике часто приходится учитывать в спектре лишь ко­нечное число гармоник. Точность аппроксимации исходной функ­ции в этом случае зависит от числа учтенных гармоник. Она ока­зывается достаточной, если учитываются все гармоники, опреде­ляемые заданной шириной спектра.

Фазо-частотный спектр

Как следует из выражений (15.24) и (15.25) начальные фазы гармоник определяются как:

Отсюда следует, что огибающая ФЧС представляет собой пря­мую с углом наклона α, зависящим от сдвига импульсов. Учет из­менения от арки к арке фазы гармоник на я осуществляется соот­ветствующим смещением этой прямой параллельно себе на π вверх или вниз (рис. 15.8).

Каждая арка АЧС имеет ширину, равную qΩ. Поэтому вели­чина сдвига фазы на одну арку составляет угол:

. (15.28)

Поэтому угол наклона α огибающей ФЧС, как это следует и из рис. 15.9, равен арктангенсу от величины сдвига импульсов:

. (15.29)

Чем больше сдвиг импульсов во времени, тем больше наклон огибающей их ФЧС (рис. 15.9). При t = 0 угол α равен нулю.

Читайте также:  Как отключить trim на ssd диске

Симметричные частотные спектры имеют аналогичный вид, но построение спектральных линий на них распространяется на ось отрицательных частот. При этом АЧС и ФЧС оказываются симмет­ричными относительно оси ординат и начала отсчета соответ­ственно (рис. 15.10).

Пример 15.1.

Рассчитать спектры периодической последовательности прямоугольных видео­импульсов, если: Um = 10O мВ; q = 5; = 0,02 мс; t = 2 tИ.

Решение.

1. Расстояние между спектральными линиями, равное частоте следования импульсов:

2. Ширина арки:

.

3. Количество спектральных линий под каждой аркой:

.

4. Сдвиг фазы на одну арку:

5.

Постоянная составляющая:


6. Табличные значения функции соответствующие частотам F, 2F, 3F и рассчитанные с их помощью амплитуды и начальные фазы гармоник:

В спектре отсутствуют гармоники, кратные q = 5, т. е. 5F = 50 кГц, lOF = 100 кГц, 15F = 150 кГц и т. д.

СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ

Рассчитаем спектр симметричной относительно оси ординат последовательности прямоугольных радиоимпульсов (рис. 15.11):

Здесь и Ω — период и частота следования импульсов;

ωH — несущая частота.

Если несущая частота кратна частоте следования, т. е. ωH = kΩ, где k — целое число, то импульсы называются когерентными, если эти частоты некратны ( ), то импульсы — некогерентные.

С помощью выражения (15.4) находим постоянную состав­ляющую

В силу симметрии функции относительно оси ординат ряд Фурье будет содержать лишь косинусоиды (bn = 0).

Отсюда следует, что амплитуды гармонических составляющих резко возрастают в районе значений частот, близких к ωн, т. е. .По в этом районе значений п второе слагаемое в выражении (15.32) значительно меньше первого, и им можно прене­бречь. Кроме того, так как ωH>Ω, постоянной составляющей можно также практически пренебречь.

Таким образом, при сделанных допущениях

Отсюда следует, что огибающая АЧС последовательности пря­моугольных радиоимпульсов определяется, так же как и для по­следовательности аналогичных видеоимпульсов, функцией . Разница лишь в том, что эта функция сдвинута по оси частот на величину , а ее максимум вдвое меньше и соответ­ствует частоте . (рис. 15.12).

В спектре некогерентной последовательности радиоимпульсов несущая частота сон отсутствует, и наибольшую ампли­туду имеет составляющая с частотой, близкой к . Если импульсы когерентны, то в их спектре присутствует составляющая несущей частоты, имеющая наибольшую амплитуду, равную (рис. 15.13).

Таким образом, спектр последовательности прямоугольных ра­диоимпульсов совпадает со спектром последовательности прямоугольных видеоимпульсов, смещенным вправо по оси частот на величину ωн. При этом часть спектра, лежащая в области ω ωн. Сделанные выводы тем точнее, чем ωн >Ω,

При комплексной форме ряда Фурье и построении симметричных спек­тров п принимает не только положительные, но и отрицательные значения. При отрицательных п в формуле (15.32) нельзя пренебречь вторым слагаемым, так как в районе частот , оно становится, наоборот, значительно больше первого слагаемого.

Наиболее эффективные спектральные составляющие, имеющие наибольшие амплитуды, у радиоимпульсов сосредоточены вблизи несущей частоты. Эффективная ширина спектра радиоимпульсов в два раза больше, чем у одинаковых по длительности видеоим­пульсов.

Построить AЧC периодической последовательности прямоугольных радио­импульсов, если Um = 100 мВ; fH=250 МГц; кГц; tИ =100 мкс.

1. Скважность импульсов:

.

2. Ширина малых арок и половины большой арки:

3. Максимальная ордината огибающей спектра:

мВ.

4. Так как fH кратно F, импульсы когерентны, основная спектральная со­ставляющая имеет частоту, равную fH = 250 МГц.

В спектре, показанном на рис. 15.13, присутствуют частоты:

Амплитуды соответствующих гармоник могут быть непосредственно отсчи­таны из графика как ординаты огибающей, взятые при соответствующих ча­стотах.

Читайте также:  Как зайти в личный кабинет в компьютере

СВЯЗЬ МЕЖДУ ФОРМОЙ СИГНАЛА И ЕГО СПЕКТРОМ

Форма сигнала в полной мере определяется лишь совокупно­стью двух его спектров: АЧС и ФЧС. Тем не менее можно устано­вить ряд характерных связей между формой сигнала и парамет­рами его АЧС, которые позволяют на практике, имея АЧС, судить о форме сигнала, и наоборот.

Сравнивая спектры прямоугольных и треугольных импульсов, заметим, что ряд Фурье в случае треугольных импульсов сходится быстрее, чем в случае прямоугольных импульсов, так как ампли­туды гармоник убывают быстрее с ростом их номера (табл. 15.1). Закономерность, по которой уменьшаются амплитуды гармоник с ростом их номера, можно выразить через число раз дифферен­цирования исследуемой функции, необходимое для "выделения из нее дельта-функций. Пусть в k-й производной исследуемой функ­ции появляются дельта-функции. Тогда для коэффициентов Фурье имеют силу неравенства:

где М — постоянная, зависящая от формы сигнала.

Скорость убывания амплитуд гармоник в спектре зависит от структурных свойств сигнала: коэффициенты убывают тем быст­рее, чем более «гладкой» является форма сигнала и его производ­ных. Если сигнал имеет скачкообразные переходы (его функция имеет конечные разрывы) и в его первой производной появляются δ(t)-импульсы, то амплитуды гармоник в его спектре стремятся к нулю очень медленно — порядок 1/п; если’же в пределах пе­риода следования сигнал непрерывен, но в его первой производ­ной имеются конечные разрывы, а во второй — δ(t)-импульсы, то амплитуды его гармоник стремятся к нулю быстрее—порядок не ниже 1/n 2 и τ. д. .Чем быстрее убывают коэффициенты Фурье, чем более «гладкая» форма сигнала, тем меньше ширина его спектра. В пределе имеет место наиболее «гладкое» моногармоническое колебание.

Понятие длительности определено лишь для прямоугольных и сходных с ними импульсов. На практике длительность импульса произвольной формы, так же как и ширину спектра сигнала, определяют энергетическим методом, т. е. как интервал времени, внутри которого сосредоточена большая часть его энергии, на­пример 90%. Ширина спектра импульсов получается тем больше, чем меньше длительность импульсов.

Важным свойством АЧС сиг­нала является то, что произведение длительности импульса на ширину спектра есть величина постоянная для импульсов данной формы:

. (15.35)

Это свойство присуще спектрам любых сигналов и играет су­щественную роль при выборе их параметров.

Уменьшение длительности радиолокационных импульсов, на­пример, позволяет увеличить точность определения координат цели. Однако увеличение при этом ширины спектра сигнала за­трудняет обеспечение требуемой помехозащищенности радиопри­емных устройств. Такая противоречивость следует из усло­вия (15.35). Поэтому желательно выбирать такую форму импуль­сов, чтобы произведение имело наименьшую величину. Ана­лиз показывает, что это произведение получается меньше для тех импульсов, которые изменяются во времени более плавно, форма которых более «гладкая». Наименьшая его величина, весьма близ­кая к теоретически достижимому минимуму, получается у коло-колообразных импульсов.

При грубых оценках в технике принято считать, что произведе­ние соответствующим образом определенной длительности многих простейших сигналов на эффективную ширину их" спектра близко к единице, т. е.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8410 – | 8028 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Комментировать
28 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector