No Image

Как построить график поверхности в маткаде

СОДЕРЖАНИЕ
5 просмотров
16 декабря 2019

Чтобы создать поверхность:

  • Определите матрицу значений, которую необходимо отобразить графически. Mathcad будет использовать номер строки и столбца матрицы в качестве координат по осям x и y. Элементы матрицы будут представлены на графике как высоты выше или ниже плоскости xy.
  • Выберите График поверхности Create Surface Plot command из меню Графика. Можно также нажать [Ctrl]2. Mathcad покажет рамку с одним полем ввода, как показано на Рисунке 1.
  • Напечатайте имя матрицы в этом поле. Как и при работе с выражением, Mathcad не создаст поверхность, если не нажать [F9] или, в автоматическом режиме, не щёлкнуть мышью вне выделенной графической области.

Рисунок 1: Пустое поле ввода отведено для имени матрицы.

Вы увидите наглядное представление матрицы. Mathcad даёт пространственное изображение матрицы в виде двумерной сетки, находящейся в трехмерном пространстве. Каждый элемент матрицы представляется как точка на определенной высоте, пропорциональной значению элемента матрицы. По умолчанию ориентация поверхности такова, что первая строка матрицы простирается из дальнего левого угла сетки направо, а первый столбец идёт из дальнего левого угла по направлению к наблюдателю. Mathcad рисует линии, чтобы соединить точки на графике. Эти линии определяют поверхность.

Пространственное представление поверхности зависит от расположения наблюдателя относительно поверхности. Можно изменять это представление, изменяя наклон графика или вращая его, как описано ниже в этой главе в подразделе “Изменение свойств обзора поверхности”.

График функции двух переменных

Типичный поверхностный график показывает значения функции двух переменных. Чтобы создать такой график, необходимо сначала образовать матрицу, содержащую значения этой функции, а затем построить поверхностный график этой матрицы. Стандартные этапы создания такого графика функции двух переменных показаны на Рисунке 2:

  • Определите функцию двух переменных.
  • Решите, сколько необходимо точек по осям x и y. Определите дискретные аргументы i и j, чтобы индексировать эти точки. Например, если необходимо иметь по 10 точек в каждом направлении, введите:
  • Определите xi и yj как равномерно располагаемые точки на осях x и y.
  • Заполните матрицу M значениями f(xi , yj ).
  • Выберите График поверхности из меню Графика.
  • Напечатайте M в поле ввода и щёлкните вне графической области.
  • Рисунок 2: Поверхность функции двух переменных.

    Создание параметрических поверхностей

    Чтобы использовать графические возможности Mathcad для построения параметрически заданной поверхности, необходимо:

    • Напечатать имена трёх матриц, имеющих одинаковое число строк и столбцов, в поле ввода внизу графической области.
    • Mathcad интерпретирует эти три матрицы как x -, y – и z -координаты точек поверхности и рисует эту поверхность под углом обзора, соответствующим установкам “Наклон” и “Вращение”.

    Область изменения параметров является прямоугольником, покрытым равномерной сеткой. Три матрицы отображают эту область в трехмерное пространство. Например, матрицы X, Y и Z, определенные на Рисунке 3, выполняют отображение, которое сворачивает прямоугольник в трубу и затем соединяет концы трубы, образуя тор.

    Рисунок 3: Создание параметрической поверхности.

    Имейте в виду, что нельзя преобразовать параметрическую поверхность в другой тип трехмерного графика.

    Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

  • Построение графика функции z=f(x,y) в виде поверхности в декартовой системе координат.
  • Построение графика поверхности, заданной параметрически.
  • Форматирование трехмерных графиков.
  • Кривая в пространстве.
  • Векторные и градиентные поля.
  • Поверхности, полученные вращением кривых вокруг осей.
  • Для построения графика поверхности можно воспользоваться двумя способами:

    1. Если вам надо только посмотреть общий вид поверхности, то MathCAD предоставляет возможность быстрого построения подобных графиков. Для этого достаточно определить функцию f(x,y) и выполнить команду Insert -> Graph -> Surface Plot или нажать соответствующую кнопку наборной панели Graph (соченание клавиш [Ctrl+7]). В появившейся графической области под осями на месте шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции. MathCAD автоматически построит график поверхности. Независимые переменные x и y принимают значения из промежутка [-5,5].

    При необходимости этот промежуток может быть уменьшен или увеличен. Для этого необходимо выделить график и воспользоваться командой Format -> Graph -> 3D Plot или щелкнуть ПРАВОЙ кнопкой мыши по выделенному графику и в контекстном меню выбрать команду Format. В появившемся окне 3-D Plot Format на вкладке QuickPlot Data можно установить другие параметры изменения независимых переменных x и y.

    Читайте также:  Как избавиться от потертостей на лобовом стекле

    Для построения графика поверхности в определенной области изменения независимых переменных или с конкретным шагом их изменения необходимо сначала задать узловые точки xi и yj, в которых будут определяться значения функции. После (а можно и до) этого надо определить функцию f(x,y), график которой хотите построить. После этого необходимо сформировать матрицу значений функции в виде: Ai,j=f(xi,yj).

    Теперь после выполнения команды Insert -> Graph -> Surface Plot в появившейся графической области достаточно ввести имя матрицы (без индексов).

    Если вы хотите, чтобы узловые точки были расположены через равные промежутки, воспользуйтесь формулами, изображенными на рисунке.

    Для построения графика линий уровня данной функции необходимо поступать также как это было описано выше, только вместо команды (Поверхности) следует выбрать команду Contour Plot (Контурный). Аналогично, при помощи команды 3D Bar Plot (3D Диаграммы) можно построить трехмерный столбчатый график данной функции, при помощи команды 3D Scatter Plot (3D Точечный) – трехмерный точечный график, а при помощи команды 3D Patch Plot (3D Лоскутный) – трехмерный график поверхности в виде несвязанных квадратных площадок – плоскостей уровня для каждой точки данных, параллельных плоскости X-Y

    Если поверхность задана параметрически, это означает, что все три координаты – x и y и z – заданы как функции от двух параметров u и v. Сначала необходимо задать векторы значений параметров ui и vj. Затем необходимо определить матрицы значений функций координат x(u,v), y(u,v) и y(u,v).

    После выбора команды Surface Plot в MathCAD документе появится графическая область. В свободной ячейке внизу области надо указать В СКОБКАХ имена (без аргументов и индексов) трех матриц – x,y,z.

    Если вас не устраивает внешний вид созданного трехмерного графика, вы можете изменитьего, выполнив команду Format -> Graph -> 3D Plot или выполнив двойной щелчок мышкой на графической области. В результате на экране появится диалоговое окно 3-D Plot Format, позволяющее изменять параметры отображения графика. Мы рассмотрим здесь основные опции. Разобраться во всех тонкостях управлением видом графика вы можете самостоятельно, построив график и поэкспериментировав, выбирая те или иные опции.

    Диалоговое окно 3-D Plot Format содержит несколько вкладок. Некоторые из них мы рассмотрим более подробно, а для других – опишем лишь их функциональное назначение.

    На вкладкеGeneral (Общие свойства) вы можете

    • в области View задать направление взгляда наблюдателя на трехмерный график. Значение в поле Rotation определяет угол поворота вокруг оси Z в плоскости X-Y. Значение в поле Tilt задает угол наклона линии взгляда к плоскости X-Y. Поле Zoom позволяет увеличить (уменьшить) графическое изображение в число раз, равное цифре, указанной в поле.

    • в области Axes Style (Стиль оси) задать вид осей, выбрав селекторную кнопку Perimetr (Периметр) или Corner (Угол). В первом случае оси всегда находятся на переднем плане. При выборе кнопки Corner точка пересечения осей Ox и Oy задается элементом A0,0матрицы A.
    • в области Frames опция Show box (Каркас) предназначена для отображения вокруг графика куба с прозрачными гранями, а опция Show border (Границы) позволяет заключить график в прямоугольную рамку.
    • в области Plot 1 (Plot 2. ) Display as (График/ несколько графиков Отобразить как) – имеются селекторные кнопки для представления графика в друих видах (контурный, точечный, векторное поле и др.)

    Элементы вкладки Axes (Ось) позволяют изменять внешний вид осей координат.

      Посредством опций области Gr >

    При этом рядом с осями Ox и Oy указываются не значения узловых точек xi, yj, а значения индексов i и j, в то время как ось Oz размечается в соответствии с промежутком, которому принадлежат элементы матрицы значений Ai,j.

    • Если установлена опция Auto Grid (Автосетка), программа самостоятельно задает расстояние между соседними отметками на осях. Вы можете сами указать число линий сетки, если отключите указанную опцию.
    • Если установленна опция Auto Scale (Авошкала) , то MathCAD сам определяет границы построкния графика и масштабы по осям. Можно отключить данную опцию и для каждой оси самостоятельно задать пределы изменения переменных в полях Minimum Value(Минимум) и Maximum Value (Максимум).
    Читайте также:  Как проложить кабель в плинтусе

    Вкладка Appearance (Внешний вид) позволяет изменять для каждого графика вид и цвет заливки поверхности (область Fill Options); вид, цвет и толщину дополнительных линий на графике (область Line Options); наносить на график точки данных (опция Draw Points области Point Options), менять их вид, размер и цвет.

    Вкладка Lighting (Освещение) при включении опции Enable Lighting (Наличие подсветки) позволяет выбрать цветовую схему для освещения, "установить" несколько источников света, выбрав для них цвет освещения и определив его направление.

    Вкладка Backplanes (Задние плоскости) позволяет изменить внешний вид плоскостей, ограничивающих область построения: цвет, нанесение сетки, определение ее цвета и толщины, прорисовка границ плоскостей.

    На вкладке Special (Специальная) можно изменять параметры построения, специфичные для различных типов графиков.

    Вкладка Advansed позволяет установить параметры печати и изменить цветовую схему для окрашивания поверхности нрафика, а также указать направление смены окраски (вдоль оси Ox, Oy или Oz). Включение опции Enable Fog (Наличие Тумана) делает график нечетким, слегка размытым (полупрозрачным). При включении опции Perspective (Перспектива) появляется возможность указать в соответствующем поле расстояние до наблюдателя.

    Вкладка Quick Plot Data обсуждалась ранее в начале раздела.

    Трехмерные точечные графики можно использовать для построения изображения пространственных кривых. Пространственные кривые задаются, как правило, в виде (x(t),y(t),z(t)), где t представляет собой непрерывный действительный параметр.

    Поскольку при построении техмерной точечной диаграммы MathCAD позволяет отображать на графике только отдельные точки и соединяющие их линии, необходимо сначаоа определить три вектора координат – xi, yi, zi.

    Пространственная кривая создается командой Insert3D -> Graph ->Scatter Plot. Можно использовать наборную панель Graph, выбрав соответствующую пиктограмму. Для соединения точек необходимо на вкладке Appearance окна форматирования графиков указать опцию Line.

    Команда Insert -> Graph -> Vector Field Plot (Поле векторов) служит для представления двумерных векторных полей v=(vx, vy).

    При этом векторное поле необходимо вначале определить как вектор-функцию двух координат – x и y. Затем задаются векторы значений узловых точек x и y. При помощи этих векторов компоненты векторного поля vx(x,y) и vy(x,y) генерируются в виде матриц значений vxi, j и vyi, j.

    Подобным образом можно построить градиентное поле скалярной функции
    f(x,y). Градиентное поле для функции двух переменных представляет собой двумерное векторное поле.

    Как и в остальных случаях, внешний вид изображения векторного поля можно легко изменить, выполнив двойной щелчок в области графика и изменив требуемые опции в открывшемся диалоговом окне 3-D Plot Format.

    Интересные объемные фигуры можно получит, вращая некоторую кривую вокруг той или иной оси. Построение этих фигур вращения сродни параметрически заданным поверхностям.

    При этом необходимо обеспечитьпересчет координат точек фигуры по известным из геметрии формулам. В MathCAD встроена функция CreateMesh, с помощью которой можно построить параметрически заданные поверхности.

    Mathcad. Построение поверхностей.

    Быстрое построение является наиболее легким способом построения поверхностей. Для этого необходимо:

    1. На лист Mathcad ввести формулу z(x,y):=…;

    2. Выбрать команду главного меню «Вставка», «График», выбрать вид графика «поверхность» на панели инструментов «Графики».

    3. В шаблон трехмерного графика ввести имя функции без указания аргументов.

    Построение поверхностей по матрице аппликат.

    Самый «правильный» способ построения графика поверхности, заданной функцией от двух переменных z = f(x,y), является заполнение матрицы значениями этой функции. При этом строки и столбцы матрицы интерпретируются как абсциссы и ординаты. Пример:

    Определение функции от двух переменных z(x,y):=cos (x . y)

    Число линий для построения графика и масштаба N:=40 M:=40

    Определение индексов i:=0..N j:=0..N

    Определение массивов абсцисс и ординат xi :=

    В шаблон трехмерного графика вводим название массива аппликат:

    Построение с помощью функции CreateMesh.

    Функция CreateMesh относится к категории Vectorandmatrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат.

    Формат вызова функции:

    CreateMesh(F , x1, x2, y1, y2, xgrid, ygrid, mesh).

    Параметры функции CreateMesh:

    Mesh – количество линий в сетке функции;

    – x1 – нижняя граница переменной x;

    – x2 – верхняя граница переменной x;

    – y1 – нижняя граница переменной y;

    – y2 – верхняя граница переменной y;

    – xgrid – количество точек переменной х;

    – ygrid – количество точек переменной y.

    В одной системе координат можно построить несколько поверхностей, для этого достаточно определить их, а затем в шаблон графика ввести их имена без аргументов через запятую:

    Построение одного и того же графика в декартовой, цилиндрической

    и сферической системах координат

    Пусть задана какая-нибудь функция, например z(x,y)=const. В различных системах координат эта функция имеет различные графики. В декартовой системе координат это плоскость, параллельная плоскости Оху, в цилиндрической – прямой круговой цилиндр с основанием радиуса const, в сферической – шар радиуса const. Для изменения системы координат, надо по шаблону графика щелкнуть правой кнопкой мыши, в появившемся перечне выбрать «Свойства», затем «Данные QuickPlot» и указать нужную систему координат. Пример:

    Для построения многогранников в Mathcad есть функция Polyhedron. Её можно использовать двумя способами:

    1) по имени, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“имя многогранника”);

    2) по коду, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“#номер многогранника”).

    Построение поверхностей вращения.

    Для построения поверхностей вращения в Mathcad удобно использовать функцию CreateMesh.

    Параметры функции CreateMesh:

    – x1, y1,z1 – матрицы значений для каждой координаты;

    – -5 – нижняя граница переменной u;

    – 5 – верхняя граница переменной u;

    – 0 – нижняя граница переменной v;

    – 2π – верхняя граница переменной v;

    – 30 – количество линий в сетке графика.

    Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Ох:

    Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Oy:

    Пример: рассмотрим гиперболу y 2 – x 2 = 1. При вращении этой гиперболы вокруг оси Ох получается однополостный гиперболоид, при вращении вокруг оси Оу – двуполостный гиперболоид. Построим эти поверхности вращения:

    Построение пространственных линий.

    Линия в пространстве, рассматриваемая как след движущейся точки, представляется системой трёх уравнений: x = x(t); y = y(t); z = z(t), выражающих координаты точки t. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями пространственной линии. Для построения пространственных линий в Mathcad существует функция CreateSpace.

    Функция CreateSpace относится к категории Vector and matrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат. Работает аналогично CreateMesh. Главное отличие в том, что параметрические уравнения должны быть функциями одной переменной, а не двух, как в CreateMesh. Вызов функции: CreateSpace(F, t1, t2, tgrid). Параметры функции:

    – F – вектор параметрических уравнений координат;

    – t1 – нижняя граница переменной;

    – t2 – верхняя граница переменной;

    – tgrid – число линий сетки; не обязательный параметр; чем больше этот параметр, тем более гладкая получается линия; если он не достаточно велик, линия получается с изломами.

    Maple. Построение поверхностей и пространственных линий.

    График поверхности, заданной явной функцией.

    Привер: построим поверхность x 2 + 4z = 4. Так как z в первой степени, то его можно выразить и сделать функцию явной, получим, z = . Вводимв Maple:

    with (plots) : plot3d(< + 0 . y 2 >, x=-5..5, y = -5..5, gr >

    График поверхности, заданной неявно.

    Трехмерный график поверхности, заданной неявно уравнением

    График поверхности, заданной параметрически.

    Если требуется построить поверхность, заданную параметрически: x =x (u ,v ), y =y (u ,v ), z =z (u ,v ), то эти функции перечисляются в квадратных скобках в команде: plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=u1..u2, v=v1..v2) .

    Пример: построить поверхность заданную параметрически: х = 2 . u + v, y= v . cos(u),

    z = v . sin(u). Для начала зададим функции Х0, Y0, Z0, соответствующие функциям х, у, z.

    График пространственных кривых.

    В пакете plot имеется команда spacecurve для построения пространственной кривой, заданной параметрически:

    Пример: построить пространственную кривую, заданную параметрически х = arctg(t),

    y = arcctg(t), z = t.

    В Maple также существует возможность построения нескольких графиков одновременно. Для этого необходимо задать каждую поверхность, а затем использовать команду display. Пример:

    Комментировать
    5 просмотров
    Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

    Это интересно
    No Image Компьютеры
    0 комментариев
    No Image Компьютеры
    0 комментариев
    No Image Компьютеры
    0 комментариев
    Adblock detector