Как найти погрешность объема

с последующим возможным определением материала, из которого изготовлен данный объект.

Целью данной работы является получение студентами практических навыков измерений физических величин, правильной оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений и усвоение логической последовательности в оформлении протокола эксперимента.

Главная задача — закрепление на практике основных положений теории неопределенностей при измерениях физических величин.

Основные теоретические положения

Получение и закрепление навыков проведения и обработки результатов прямых и косвенных измерений имеет смысл проводить на простейших моделях. В качестве такой модели выбран сплошной цилиндр.

Перед выполнением лабораторной работы студенту следует ознакомиться с методикой измерений с помощью штангенциркуля, правилами обработки результатов измерений, изложенными в данном пособии, а также подробно изучить приведенный ниже пример «Измерение объема конуса». Это позволит закрепить правила оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений, усвоить структуру отчета по эксперименту.

Пример. Измерение объема конуса

На рис. 2 представлено тело в виде конуса. Необходимо определить объем данного объекта. Расчетной формулой в этом случае является

где П — диаметр конуса; Н — высота конуса.

Рисунок 2 — Конус

Прямые измерения — это измерения высоты и диаметра конуса, а определение его объема является косвенным измерением на основе рабочей формулы (4).

Измерения высоты и диаметра будем проводить штангенциркулем с ценой деления 0.05 мм. Правила работы со штангенциркулем приведены в приложении данной работы. Проведем серию из П измерений Пи Н. Данные прямых измерений Пи Н занесем в таблицу 1 для числа измерений П = 10.

Оценим отдельно вклад случайных и систематических (приборных ошибок) в вычислении неопределенности (погрешности) прямых измерений. Будем считать, что случайные ошибки измерений подчиняются закону нормального распределения. Грубые ошибки (промахи) исключим из измерений.

Таблица 1 — Запись данных измерений.

Обработка результатов прямых измерений

1. Определить среднее арифметическое значение измеряемых величин по формуле:

аналогично

Результаты вычислений по этим формулам дают:

• 2. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений I), и Я, от их средних арифметических значений, а затем рассчитать квадратичные отклонения. Результаты записать в таблицу 1.
• 3. По данным таблицы 1 определить среднее квадратичное отклонение 5 результата серии из П= 10 измерений для диаметра и высоты конуса.

Вычисления 3(Н_ср) и 5(Т)_ср] нужно провести по формулам:

Вычисления дают следующие значения: 3(Н_ср) = 0.016 мм, вф_ср) = 0.012 мм.

Так как измерения производятся штангенциркулем с ценой деления 0.05 мм, то данные для 3(Н_ср) и 3(В_ср) следует округлить до сотых.

4. Следующий этап — оценка доверительного интервала, т.е. интервала, в котором с заданной вероятностью Р находится измеряемая величина.

Границы доверительных интервалов для измеряемых величин определяются по формулам:

где Ь(Р,п) — коэффициент Стьюдента, зависящий от Р и П. Значение ЦР,п) при заданных значениях Р и П представлены в таблице 2.

Таблица 2 — Значение коэффициентов Стьюдента Ь_{Р п}

В практике учебных лабораторий принято брать значение Р

В нашем случае мы имеем дело с достаточно точными измерениями и можем считать Р

0.9. Тогда, как видно из таблицы 2, при Р = 0.9 и П = 10 коэффициент Стьюдента ?(Р,п) = 1.83.

С учетом этого вычислим значение АН , и ДИ ,:

5. Теперь оценим вклад систематических (приборных) ошибок в наши измерения. При измерениях с помощью штангенциркуля систематическую составляющую неопределенности будем считать равной половине цены деления штангенциркуля, то есть

В данном случае приборная ошибка соизмерима со случайными ошибками. Поэтому необходимо оценить границу доверительного интервала для суммарной неопределенности, обусловленной обоими типами ошибок.

Вычисление будем проводить по формуле:

где х — измеряемая величина; Ах_а — граница доверительного интервала, обусловленная случайными ошибками измерений; Ах_ъ — граница доверительного интервала, вызванная систематическими ошибками.

Вычисления по формуле (11) дают:

В соответствии с правилами округления можно принять АН = 0.04 мм; АН — 0.04 мм .

6. Результаты прямых измерений следует записать в стандартной форме: Окончательно:

Обработка результатов косвенных измерений

После проведения прямых измерений следует по рабочей формуле (4) вычислить среднее значение объема конуса:

Затем следует оценить неопределенность (погрешность) косвенных измерений.

Для этого необходимо выполнить следующие этапы:

а) вывести формулу относительной неопределенности искомой величины

• б) по полученной формуле вычислить значение у ;
• в) определить границу доверительного интервала для косвенного измерения:

Окончательный результат представить в стандартной форме:

Вывод формулы относительной неопределенности

Как видно из формулы (4), искомая величина V является функцией двух переменных О и Н, т.е. V можно записать в виде:

В случае такой простейшей функциональной зависимости выражение для относительной неопределенности у можно записать как:

Для вычисления у в формулу (13) подставим средние значения результатов прямых измерений Н_ср и ?>_ср, и граничные значения их доверительных интервалов АН и AD.

Вычисления у дают:

По правилам округления запишем у с точностью до двух значащих цифр у=4.4*1 (У 2 .

Вычислим границу доверительного интервала косвенного измерения:

Согласно правилам округления, AV запишем с точностью до двух значащих цифр (так как первая значащая цифра в AV меньше 4) и до того же знака округлим результат V .

Окончательный результат представим в стандартной форме:

получим У=(3.83±0.17)*10 3 мм или V=(3.8±0.2)*10 3 мм.

Лишь после ознакомления с правилами измерений штангенциркулем и обработки результатов этих измерений, представленных в данном примере, следует приступать к выполнению данной лабораторной работы.

В данной лабораторной работе измеряемым объектом является сплошной цилиндр (рис. 3). Для вычисления объема цилиндра следует провести прямые измерения диаметра цилиндра (D) и его высоты (Н) с помощью штангенциркуля.

Рисунок 3 — Цилиндр

Объем цилиндра вычисляется по рабочей (расчетной) формуле:

Порядок выполнения работы

1. Измерить высоту и диаметр цилиндра 10 раз, результаты измерений занести в таблицу по форме, аналогичной табл. 1 в приведенном примере.

Замечание: если цилиндр не идеальной формы, то измерение И следует проводить по диаметрам на разной высоте цилиндра, а высоту Н — в нескольких различных местах оснований цилиндра.

Вычисление и обработка результатов измерений

1. Провести обработку результатов прямых измерений. Вычислить

средние арифметические значения Н_ср и Д._р для серии измерений. Затем определить отклонения результатов отдельных измерений от их средних арифметических значений — (//_сп-//,) и (Л_ср-Д). Далее вычислить квадратичное отклонение — Все результаты занести в таблицу по форме

• 2. Определить средние квадратичные отклонения 3<Н_ср) и 5(О_ср) результата серии измерений от среднего арифметического значения для каждой измеряемой величины.
• 3. Вычислить границы доверительных интервалов Ай и АН за счет случайных ошибок.
• 4. Оценить систематическую (приборную) неопределенность и сравнить ее с неопределенностью измерений, вызванных случайными ошибками. Если эти ошибки сравнимы, то вычислить суммарную неопределенность каждого прямого измерения, обусловленную обоими типами ошибок. Определить границы доверительных интервалов Ай и АН, обусловленных обоими типами неопределенностей.
• 5. Записать результаты прямых измерений в стандартной форме:

учитывая правила округления величин.

6. Рассчитать среднее значение объема цилиндра У_ср по рабочей формуле (14), куда подставить средние значения результатов прямых измерений Н_ср и

7. Вывести формулу для расчета относительной неопределенности косвенного измерения. Затем вычислить у по полученной формуле.

8. Оценить границу доверительного интервала для косвенного измерения,

т.е.

9. Окончательно записать результат в стандартной форме:

Приложение. Методика измерений с помощью штангенциркуля и микрометра

Измерение с помощью штангенциркуля

При расчете неопределенностей следует помнить, что математические действия не могут повысить точности измерений.

Точность измерения повышается с помощью нониуса. В штангенциркуле (рис. 4) нониус представляет собой небольшую линейку, которая может перемещаться вдоль основной.

Пусть П — число делений на шкале нониуса;

X — цена деления шкалы нониуса;

У- цена деления шкалы основной линейки.

, где Ь- точность штангенциркуля, выгравирована на приборе.

Следовательно, чем меньше цена деления основной линейки и больше делений на нониусе, тем точнее можно произвести измерение. Для измерения длины предмета с помощью нониуса необходимо расположить предмет между нулевыми делениями основной линейки и нониуса. Отсчитав число целых делений масштаба, найти то деление нониуса, которое совпало с каким-либо делением основной линейки.

Длина предмета определяется по формуле:

/ = /3 + кк где / — длина предмета, (3 — число целых делений основной линейки, к — номер деления нониуса, совпадающего с каким-либо делением масштаба, Ь- точность нониуса.

Рисунок 4 — Принцип измерения длины предмета

Для случая, рассмотренного на рисунке:

Д = 4 мм; ? = 0.1 мм; к = 5; / =4 мм + 5*0.1 мм =4.5 мм.

Измерения с помощью микрометра

При измерениях штангенциркулем величину вычисляемой средней неопределенности (погрешности) следует сравнивать с точностью нониуса.

Для более точных измерений длины применяются микрометры. В микрометрах используется микровинтовая пара, преобразующая вращательное движение в поступательное. Так, если шаг микровинта равен 0.5 мм, то при одном полном обороте винта его конец перемещается на 0.5 мм, если головка винта имеет круговую шкалу с 50 делениями, то поворот его на одно деление вызывает смещение на 0.01 мм, т.е. цена деления круговой шкалы будет равна 0.01 мм. При измерениях микрометром доли деления по круговой шкале следует округлять до половины значения и предельную приборную неопределенность считать равной ±0.005 мм. Перед началом измерений следует обязательно проверить положение нулевого отсчета.

• 1. Как найти среднее квадратичное отклонение?
• 2. Каков смысл вероятности?
• 3. Что показывает величина доверительного интервала?
• 4. Каков смысл относительной неопределенности?
• 5. Каковы отличия штангенциркуля от микрометра?

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

• при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
• при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
• при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

бюджетное профессиональное образовательное учреждение Вологодской области «Череповецкий металлургический колледж имени академика И.П. Бардина»

Для всех специальностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕРЕНИЙ

И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Методические рекомендации и лабораторная работа по дисциплине «Физика» для студентов I курса

Разработчик Изотова Е.А.,

Определение объема тела с помощью измерений и вычисление погрешностей измерений. Методические рекомендации и лабораторная работа по дисциплине «Физика» для студентов I курса. /Разработчик Изотова Е.А./ — Череповец: БПОУ ВО «ЧМК» Череповецкий металлургический колледж, 2017. — 12 с.

на заседании цикловой комиссии

«Математические и естественнонаучные дисциплины»

« » 2017 г., протокол №

Теоретические сведения и методические рекомендации по выполнению лабораторной работы ………………………………………………………..

Ход выполнения лабораторной работы ……………………………………

Рекомендации по оформлению отчета по лабораторной работе ……….

Определение объема тела с помощью измерений и вычисление погрешностей измерений

Ознакомиться с методами измерения линейных величин, а также с методами обработки экспериментальных данных и оценки точности измерений микрометром, штангенциркулем.

лабораторное оборудование: образцы для измерений, штангенциркуль, микрометр;

методические рекомендации по выполнению работы, микрокалькулятор.

3 Теоретические сведения и методические рекомендации по выполнению лабораторной работы

Любые вычисления, которые приходится выполнять человеку, должны быть достоверными (безошибочными, хотя в некоторых случаях и приближенными) и своевременными. Грубая ошибка может привести к неправильным научным результатам, что может вызвать отрицательные последствия и нанести огромный материальный ущерб. Достоверность достигается безошибочностью выполнения математических действий над числами, контролем промежуточных и окончательных результатов. При выполнении лабораторных работ все значения величин, кроме постоянных коэффициентов, показателей степеней и других постоянных, вычисленных с метрологической точностью, являются приближенными. Поэтому расчеты в лабораторных работах проводятся по правилам приближенных вычислений с использованием микрокалькуляторов или компьютеров.

При работе с приближенными числами необходимо соблюдать следующие правила:

при сложении и вычитании приближенных чисел в конечном результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет наименее точное данное (число с наименьшим числом десятичных знаков);

в результате, полученном после умножения и деления, следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет наименее точное данное;

при возведении приближенного числа в квадрат и куб следует сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число;

при извлечении квадратного и кубического корней из приближенного числа следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное выражение;

при выполнении промежуточных результатов необходимо брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

Ошибки (погрешности), возникающие при измерениях, объясняются несовершенством методов измерения, измерительных приборов, условиями опыта. Для повышения степени точности необходимо проводить минимум три измерения, а затем найти среднее арифметическое (истинное значение):

где Х _ист. – истинное значение величины;

Х ₁ , Х ₂ , Х ₃ – измеренные значения величины.

Разность между истинным значением и измеренным значением искомой величины называется абсолютной погрешностью .

где Х – абсолютная погрешность величины.

Абсолютная погрешность не в полной мере характеризует измерения.

Отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеренной величины называется относительной погрешностью измерения :

где – относительная погрешность величины.

Если истинное значение искомой величины известно, то для определения погрешностей можно воспользоваться методом среднего арифметического.

Производят измерение искомой величины Х несколько раз и среднее арифметическое результатов этих измерений принимают за истинное значение измеренной величины:

Находят абсолютные погрешности каждого измерения:

Определяют среднее арифметическое этих погрешностей и принимают его за абсолютную погрешность измерения:

Находят относительную погрешность:

Измерения могут быть прямыми, косвенными. Измерения, в которых результат находится непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора, называются прямыми. Измерения, в которых результат определяется на основе расчетов, называются косвенными. При косвенных измерениях искомой величины погрешности можно определить следующими методами.

1) Способ оценки результатов. Погрешность вычисляют по формулам теории приближенных вычислений:

Таблица 1 – Формулы теории приближенных вычислений

Истинное значение измеряемой величины:

2) Способ оценки погрешности нахождением верхней и нижней границ измерения:

находят верхнюю (В. Г.) и нижнюю (Н. Г.) границы измеряемой величины;

определяют среднее значение искомой величины Х как полусумму верхней и нижней границ измерения:

определяют абсолютную погрешность Х как полуразность верхней и нижней границ:

В лабораторных работах для проведения прямых однократных измерений используются измерительные приборы и меры. Меры- это тело или устройство, служащее для воспроизведения одного или нескольких известных значений данной величины. Это гири, линейки, измерительные цилиндры и др. В данной работе используются приборы микрометр и штангенциркуль.

Микрометр (рисунок 1) состоит из упора, микрометрического винта, неподвижной втулки со шкалой в миллиметрах. Головки винта со шкалой. При измерении микрометром предмет помещают между упором и винтом. Вращая винт за головку, доводят его до соприкосновения с предметом. Затем по шкале отсчитывают целые миллиметры, а по шкале головки винта — десятые и сотые доли миллиметра.

Рисунок 1 — Микрометр

Штангенциркуль (рисунок 2) имеет линейку со шкалой , нониус со шкалой. Измеряемый предмет помещают между ножками штангенциркуля так, чтобы предмет был слегка зажат, и закрепляют нониус винтом. По шкале линейки отсчитывают целое число миллиметров до нуля нониуса (первого деления). Затем тщательно определяют, какое деление шкалы нониуса точно совпадает с некоторым делением шкалы линейки. Это деление шкалы нониуса соответствует десятым долям миллиметра.

Рисунок 2 – Штангенциркуль

Погрешность прямых измерений связана, прежде всего, с основными погрешностями мер и измерительных приборов (инструментальные погрешности). Для большинства измерительных приборов инструментальная погрешность задается при помощи числа, называемого классом точности. Абсолютная погрешность прибора:

Класс точности обозначается на шкале прибора. Погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Отсчет надо проводить тщательно. Избегая погрешности, обусловленной параллаксом. Параллакс-это кажущееся смещение объекта, вызванное изменением точки наблюдения. Абсолютная погрешность прямого измерения:

 =  прибора + отсчета , (12)

Результаты экспериментов удобнее всего записывать в виде таблиц. Такая запись компактнее и проще для чтения. В начале каждого столбца напишите название или символ соответствующей величины и укажите единицу измерения. В таблице должны быть записаны значения величин, как полученные непосредственно в эксперименте, так и рассчитанные затем на основе экспериментальных данных. Например, измерить объем монеты можно по формулам:

где V – истинный объем монеты, м 3 ;

V _ср – средний объем монеты, м 3 ;

 V _ср – средняя абсолютная погрешность объема, м 3 .

где D – средний диаметр монеты, м;

h – средняя толщина монеты, м.

где – среднее значение относительной погрешности объема;

– среднее значение относительной погрешности диаметра;

— среднее значение относительной погрешности толщины.

4 Задание

Определить объем монеты с помощью микрометра или штангенциркуля. Вычислить абсолютные и относительные погрешности измерений.

Записать результат полученного объема.

5 Ход выполнения лабораторной работы

5.1 Измерить 3 раза толщину монеты и 3 раза диаметр монеты микрометром или штангенциркулем.

Результаты опытов и расчетов занести в таблицу.

Таблица 2 — Результаты измерений и вычислений.

Средний диаметр монеты

Абсолютная погрешность диаметра

Среднее значение абсолютной погрешности диаметра

Средняя относительная погрешность диаметра

Средняя толщина монеты

Абсолютная погрешность толщины

Среднее значение абсолютной погрешности толщины